算法与数学之美|最自然的数字——e

_本文原题：最自然的数字——e
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相对它的唯一竞争者来说，就像是初来乍到的。由于其可追溯到巴比伦时期的辉煌历史而显得更具威严，而却没有什么值得称道的历史为其添彩。常数是年轻而充满生机的，当涉及“增长”时，它就会出现。无论是人口、金钱或其他的自然数量，它们的增长总是不可避免地会涉及。
是一个近似值为的数。那么它为什么这么特别呢？它并不是一个随机产生的数，而是数学中最伟大的常数之一。它萌发于 17 世纪早期，那时，几个数学家正致力于如何阐明对数的思想，这个伟大的发明使得大数之间的乘法可以转换为加法。
但是，故事真正开始于 17 世纪。当时，瑞士的伯努利家族像个生产数学家的工厂，涌现了一批杰出的数学家，而雅各布 ·伯努利正是这个家族的一员。 1683 年，雅各布开始研究复利的问题。
金钱，金钱，金钱
假设我们考虑年定期存款，利率为，初始存款（称为本金）为￡。当然我们几乎不可能得到这么高的利息，这个数字仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如或。同理，如果我们假定本金为￡的话，那么计算过程中的所有数字都要乘以倍。
在第一年结束后，按的利率来算，我们现在拥有了本金以及相应的利率￡。也就是说，现在的总额高达￡。现在我们假设将利率降低到，但是每半年单独结算一次。在前半年结束后，我们得到了便士的利息，总额增加到￡。所以，在全年结束时，我们将以这个基数计算利率，共得到便士的利息。一年结束后，我们最初的存款￡增长到了￡！通过每半年计算一次复利，我们得到了额外便士的利息。虽然这看起来很少，但是如果我们投资了￡的本金，我们最后得到的将是￡，而不是￡。通过半年复利的计算方法，我们得到了额外的￡。
但是，如果每半年计算一次复利可以使我们的本金获得更多的利息，银行也同样可以从我们欠银行的债务上获得更多的利息，所以我们一定要小心！现在假设将一年划分为个季度，每个季度的利率为。经过类似的计算，我们发现本金￡增加到了￡。我们的钱在增加，对于￡的本金来说，如果能进一步减小计算利息的周期和利率，我们将能获得更多的利息。
我们的钱会无限增长下去，并使我们变为百万富翁吗？如果我们将一年时间继续划分为越来越短的周期，这个“极限过程”最终将使本息和停留在某一个常数上，如下表所示。当然，现实中计算复利的最短周期是每天（银行正是这么做的）。这个过程的数学结论是，这个极限值（数学家称之为e ）是将复利的计算变得连续发生时，￡的本金最后所获得的本息和。这是个好消息还是坏消息呢？你应该知道答案：如果你是在存款，那么它是好消息；如果你欠银行钱，它就是坏消息。这是一个 “ 学习”的问题。
e的精确值
和一样，也是一个无理数，因此，我们也无法知道它的精确数值。将扩展到小数点后位的结果是
如果仅仅使用分数，并且限定分母和分子都是位数的话，的最佳近似是。有趣的是，如果将分母和分子限定到位数，则最佳近似是。第二个分数恰好为第一个分数的一个回文展开：一一一数学总是习惯于给我们奉上一些小的惊喜。关于的一个著名的展开序列为：
上式中的阶乘用感叹号来表示更方便一些。例如，。根据这种表示法，可以表示为我们更熟悉的形式
因此，数字看起来应该有一定的模式。从数学性质来说，比更加“对称” 。
如果你想知道一种记住的前几位数字的方法，尝试一下这个：“Weattempt a mnemonic to remember a strategy to memorize this count...” ，每个单词中的字母个数依次代表中小数点后面的数字。如果你熟悉美国的历史，应该将记为“Andrew Jackson Andrew Jackson” ，因为安德鲁 ·杰克逊（外号“老山胡桃”）是在年当选为美国第任总统的。有很多帮助记忆的方法，它们的趣味在于它们所涉及的离奇事物，而并非在数学上有过人之处。分页标题
欧拉在 1737 年证明了是无理数（而不是分数）。 1840 年，法国数学家刘维尔证明了不是**任何** 次方程的解，而在 1873 年，他的同胞埃尔米特，开创性地证明了是超越的（不是任何代数方程的解）。这里重要的是埃尔米特所使用的方法。年之后，林德曼沿用埃尔米特的方法证明了是超越的，而这个问题显得更惹人注目。
旧的问题刚刚解决，新的问题又会接踵而来。的次幂也是超越的吗？这个表述显得如此怪诞，但是还能有什么更好的表述呢？它至今仍未被严谨地证明，按照数学的严格标准，它仍应算作猜想。数学家们的证明已经很接近了，证明出了它和的次幂不可能同时都是超越的。接近了，但是还不够接近！
和之间的关系非常令人着迷！和的值非常接近，但是我们很容易证明（无需精确计算它们的数值）。如果使用计算器算一下，你会发现它们的近似值为。
e很重要吗
主要出现在涉及增长的地方。比如说经济增长和人口增长。与其相关的还有用决定曲线来描述放射性衰变。
数字也出现在与增长无关的地方。蒙特莫特（Pierre Montmort）在18世纪研究了一个概率问题，随后对该问题的研究推广开来。简单地说，一群人去吃午饭，吃完后要离开时随机拿起一顶帽子。那么没有人拿到自己帽子的概率为多大？
可以证明这个概率是（大约），所以至少有一个人拿到了他自己帽子的概率为（）。这只是它在概率论中诸多应用中的一个。用于描述小概率事件的泊松分布是另一个例子。这些都是较早的应用，但还不只这些。詹姆士·斯特林利用和得到了一个对阶乘的著名近似：在统计学中，正态分布的“钟形曲线”涉及：在工程学中，悬索桥缆索的曲线取决于。如此列举下去的清单是无穷无尽的。

本文插图
一个惊世骇俗的恒等式
数学中最吸引人眼球的等式也涉及。当我们思考数学中的著名数字时，我们会想到以及虚数。下面的式子真的成立吗？
成立：这个结果要归功于欧拉。
也许，的重要性就在于它的神秘吸引和魅惑了一代代的数学家。总而言之，【算法与数学之美|最自然的数字——e】是无可替代的。不知为何作家E.V. 怀特（或许他还有一个笔名）要花费那么多力气完成了一部不含字母的小说，他的《盖茨比》（Gadspy）确实就是一部这样的小说。很难想象一个数学家想要或是有能力写这样一本没有的教科书。
来源：图灵新知
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