一课研究|一课研究之“基于APOS理论的单位换算的实践与反思”

_本文原题：一课研究之“基于APOS理论的单位换算的实践与反思”
1
向你介绍我是谁

本文插图
杭州市余杭区塘栖镇第二小学蒋燕芬
【一课研究|一课研究之“基于APOS理论的单位换算的实践与反思”】大家好！我是朱乐平名师工作站第七小组成员。很高兴与您在“一课研究”的微信中相遇！
标题标题
2
本期内容有哪些
听一听：不用单位“1”如何解分数应用题
读一读：基于APOS理论的单位换算的实践与反思
想一想：马云的面试题
3
轻轻松松听听书
——选自小学教学（数学版）2018年第4期罗永军老师的《不用单位“1”如何解分数应用题——新加坡教材中分数应用题的解决》
4
坚持阅读8分钟
APOS理论是“操作·过程·对象·图示”的简称，强调引导学生在社会实践中学习数学知识，分析数学问题情境，从而建构他们自己的数学思想。笔者结合学生目前的单位换算的能力水平以及APOS理论，为打破现状并提升学生的单位换算能力，笔者从以下四个方面进行教学探索：基于操作的实践探索，基于过程的实践探索，基于对象的实践探索，基于图示的实践探索。
（一）基于操作的实践探索
杜宾斯基认为数学活动需实际操作演算和心理操作，强调学生的亲自投入，并通过实际经验来获得知识。笔者结合教具设计操作活动，引导学生熟悉单位进率，理解单位换算的方法，主要从以下六个方面展开。

本文插图
1. 借助学具尺，画出长度进率
三年级学生的思维正处于由形象思维过渡到抽象思维的阶段，但仍以形象思维为主，模仿性强，想象能力也从模仿性和再现性向创造性的想象过渡。教师可以引导学生在实物感知的基础上，创造性地画出米尺模型，从而看出进率。

本文插图
2. 借助方格纸，拼出面积进率
以大小方格为载体，学生从动手操作到推理想象，在拼与摆中体会知识形成，在比较不同拼法中感受方法的优劣，从面积单位和面积意义两个角度得出相邻面积进率，通过直观感知公顷的大小加深对1公顷原型的印象，有利于学生推导1公顷与平方米的进率关系。

本文插图
3. 借助小方块，堆出体积进率
五年级学生思维已经达到了较高的抽象水平，可以离开具体事物进行抽象的思考。教师可以引导学生在面积单位进率的形成方式上继续推理，得出体积单位进率。通过提前预设学生对于体积单位的形成制作课件，既满足不同学生的想法，又完成了推导相邻体积单位进率的教学目标，接着大胆放手让学生自主推理出其他相邻的体积单位进率。

本文插图
（二）基于过程的实践探索
当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，物理操作就可以内化为一种叫做“过程”的心理操作，有了这一“程序” ，个体就可以想象之前的活动，而不必通过外部刺激。
1. 程序1：大化小， “小数”乘进率
程序1适用于“小数字×大单位＝（）×小单位”的题型。大化小指的是把已知大小的大单位化成较小单位的数， “小数”乘进率指的是已知较小的数字乘两个单位的进率。分页标题
学生在运用此程序时，教师需引导学生先观察具体单位，再在单位下方进行如下标注并列式，熟练后可直接在草稿本列式帮助计算。
这一程序是在学生反复体验后形成的一种运算关系，可以帮助学生准确快速判断题型，选择正确的运算方式，得出结果。

本文插图
2. 程序2：小化大， “大数”除以进率
程序2适用于“大数字×小单位＝（）×大单位” ，小化大指的是把已知大小的小单位化成较大单位的数， “大数”除以进率指的是已知较大的数字除以两个单位的进率。
与程序1同理，学生刚使用程序时，容易漏写步骤，导致掌握程度不好、后期错误率提高，所以这时教师要做好严格的监督，确保每位学生认真执行程序。
相比于程序1 ，程序2的错误率相对较高，原因在于学生对于除以进率而缩小的方法掌握不好，特别容易被大数后面的“0”干扰，导致结果错误。

本文插图
（三）基于对象的实践探索
当个体能把这个“过程”作为一个整体进行操作和转换的时候，这个过程就变成了他的一种心理“对象” ，个体可以操控对象去实施各种相关的数学运算。
1. 压缩成对象，促进单复名数互化
当学生能够熟练地把大小单位互化，教师就可以进一步引导学生进行单复名数互化。单复名数互化是指在一个单位换算题中同时出现了两次思考或两次换算，需要将两种单位和一种单位进行互化。
学生在具体操作的时候，要先将复名数压缩成两个对象，即两个单名数，再分别将两个单名数化成指定单位的数，最后相加。
学生习惯这个压缩过程之后，当遇到一个单复名数互化的题目，就会熟练地自动将其分解成两个对象，经历特定的心理过程，快速且准确地得出结果。

本文插图
2.对象解压缩，促进简单问题解决
对象解压缩是指在问题情境中，如果所需单位条件没有直接给出，而包含在其他已知条件中，需先“解压缩” ，将所需单位条件得出后再分别操作，形成新的程序，在新的程序中，可能会涉及更多的数学概念。
首先，学生从问题中找出有关单位的已知条件，再将此条件通过数学运算解压缩成适用于解决下一步问题的单位，最后这个单位经过与其他条件或知识点的联合运算，得到最后结果。
基于活动和过程的学习，教师将关于单位换算的简单问题解决分解成三步：找单位条件有利于学生着眼于问题需求，将有关单位的条件一一找出，根据条件全面思考问题，学会区分有效条件和无效条件；对象解压缩帮助学生结合所有有效条件，求出单复名数；协调成程序是在学生处理好所有相关条件后，利用其他数学概念求出最终结果，完成解题过程。

本文插图
（四）基于图示的实践探索
个体对活动、过程、对象以及他原有的相关方面的图示进行相应的整合、精致就会产生出新的图示结构，这些图示结构为学生提供思考问题的框架和路径，从而可运用于实际问题解决。
1. 单图示巩固知识运用
单图示只注意离散的操作、过程和对象，而把具有类似性质的其他知识点隔离开来。因此，教师可利用单图示逐一巩固独立的知识点和个别题型，保证学生先掌握特定知识点或一种题型。
具体教学时，教师引导学生逐一经历操作、过程、对象阶段，先在图形中理解题意、厘清思路，再将思路用算式进行表征、得出结果，最后将过程抽象成对象，学生可以操控此对象去实施类似的运算过程。分页标题
由于单图示指向单一的特点，它可以有效解决个别学生的困惑，帮助他们建立完整的知识结构和解决问题的逻辑框架。同时，对于数学中比较独立的知识体系或特殊题型也可以采用单图示训练法。

本文插图
2. 多图示促进知识整合
多图示注意了各个图示中蕴含的知识点之间的关系和衔接，这时个体就能把这些知识点组成一个整体。基于多图示的这一特征，它常用于相似题、易错题、变式题的辨析，以及容易混淆的知识点的梳理整合。
变式题之间的问题情境可能不同，但解题思路相似度高，它注重考验学生准确读取题目关键信息、比较不同信息差异、运用不同信息解决相似问题的能力。所以学生在运用多图示整合问题时，教师要特别引导学生从辨析的角度突出差异、归纳共性，整体性地理解一类问题。
下图人教版四年级上册中涉及公顷单位换算的解决问题，多图示中不仅指明了每种题型的APO过程，还用不同颜色标注出变式题在操作、过程、对象的差异。有利于学生归纳变式题的相通之处、明确差异性、缩小差异范围，促进两题向一题的知识整合。

本文插图
3. 图示迁移构建知识网络
图示迁移是学生彻底搞清楚在上一个阶段中提到的相关知识点之间的相互关系，并建构出这些知识点之间的内部结构，形成一个新的大图示。这个大图示已经去除了题目本身的繁琐步骤，留下的是知识本质及其区别联系。
图示迁移落实到学生练习上的具体应用，需要他们在挖掘知识本质的基础上归纳出这一种类型题目的做法，并类推出具有相同本质的相似题型的做法，此环节学生独立完成的难度较大，一般先由教师引领，多次后可由教师提供图示大纲学生填充完整，最后过渡到学生独立进行图示迁移。

本文插图
5
想一想
据说，这是马云在一次面试中出的题目，当时只有一个人答对了。

本文插图
你若盛开蝴蝶自来

本文插图
审核人：李璐徐建林