正交和矩阵的特性特征值正交和矩阵的特征值为什么是1或负1 _特征值

给出一个二维矩阵
先求出该矩阵的特征值与特征向量，特征值各自获是：，
相匹配的特征向量为：

文章插图
（列向量）PS：这里的U是正交和矩阵，依据正交和矩阵的特性，能够有
假如从界定来了解特征向量的化，某一物件历经该矩阵A转换后，该物件在室内空间内顺着特征向量的方位上等同于仅仅发生了缩放。
使用經典的笑脸图案来开展表明：
（为了更好地便捷演试笑脸图案遍布在0-1的企业方形内，并将2个特征向量在图上表明出去， 2个箭头符号的方位表明2个特征向量的方位）（以二维矩阵演试，高维空间相近）
【正交和矩阵的特性特征值正交和矩阵的特征值为什么是1或负1】将这一笑脸图案历经矩阵A的转换，即用这一图案设计中的每一个点的座标和这一矩阵做加法，获得下边图案设计：
由上面转换后的图案设计我们可以见到，笑脸图案顺着2个正交和的特征向量的方位开展了缩放。
依据特征向量的特性我们知道，（下面有举例说明测算）即，那麼必得
线性变换的特征向量是就是指在转换下方位不会改变，或是简易地乘于一个缩放因素的非零向量。
特征向量相匹配的特征值是它所乘的哪个缩放因素。
特点室内空间便是由全部拥有同样特征值的特征向量构成的室内空间，还包含零向量，但要留意零向量自身并不是特征向量。
线性变换的主特征向量是较大特征值相匹配的特征向量。
特征值的几何图形重次是相对特点室内空间的维数。
比较有限维向量室内空间上的一个线性变换的谱是其全部特征值的结合。
比如，三维空间中的旋转变换的特征向量是顺着转动轴的一个向量，相对的特征值是1 ，相对的特点室内空间包括全部和该轴平行面的向量。该特点室内空间是一个一维空间，因此特征值1的几何图形重次是1 。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。
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所述笑容转换的含意便是：
假定大家把所述的笑脸图案做为一个矩阵C ，那麼矩阵能够了解为把矩阵A功效于C ，由所述我们可以了解矩阵A能够拆卸为（），因此：
从所述算式我们可以看得出A矩阵是以转动和沿轴（特征向量做为轴）缩放的视角来功效于C ，分成3步了解：
第一步：（C矩阵先左乘）是把特征向量所说的方位各自转到横坐标和纵坐标，即等同于用（对C）开展了转换。（图片旋转）
对特征向量开展转动等同于将照片即矩阵C也开展了转动。
第二步：（再左乘A）随后把特征值做为缩放倍率，即乘，运用特征值结构一个缩放矩阵，那麼矩阵C各自顺着横坐标和纵坐标开展缩放。（照片缩放）
第三步：（再左乘U），由結果能够看得出接下去把图案设计转回来。
PS：因此从转动和缩放的视角，一个矩阵转换便是，转动--->沿纵坐标缩放--->转动回家，这三步实际操作。
PS：之上全是左乘，假如右乘呢？？？
所述给的矩阵A是一个（半）正定矩阵的事例，针对不正定的矩阵也是能够溶解为：转动--->沿纵坐标缩放--->转动，这三步。（不一样的是最后一步和第一步的2个转动并不是转回来的关联了），关系式以下：
这一便是SVD的溶解。
-----------矩阵的正定与半正定--------
最先半正定矩阵界定为：，在其中X 是向量， M 是转换矩阵
大家换一个构思看这个难题，矩阵转换中，意味着对向量 X开展转换，大家假定转换后的向量为Y ，记做。因此半正定矩阵能够写出：
这一是否很了解呢？他是2个向量的内积。另外大家也是有公式计算：
||X||, ||Y||意味着向量 X,Y的长短，是她们中间的交角。因此半正定矩阵代表着
(正定、半正定矩阵的判断力意味着一个向量历经它的转变后的向量两者之间自身的交角不大于九十度。)
内积（点乘）的几何意义包含：
定性分析或测算2个向量中间的交角
b向量在a向量方位上的投射
有公式计算：
分辨2个向量是不是同一方向或正交和(即竖直)等方位关联，实际对应关系为：
a?b>0→方位基本一致，交角在0°到90°中间
a?b=0→ 正交和，互相竖直
a?b<0→ 方位基础反过来，交角在90°到180°中间
向量內外积的几何意义：
（2）从特征值视角了解：
若全部特征值均不小于零，则称之为半正定。
若全部特征值均超过零，则称之为正定。
------>左乘必得
半正定得话：，因此：。（向量x转置乘x等同于平方米毫无疑问高于或等于0）

正交和矩阵的特性特征值 正交和矩阵的特征值为什么是1或负1

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