求差分方程的通解步骤 _差分

线性差分信号
定义
形如

文章插图
yt n a1(t)yt n-1 a2(t)yt n-2 … an-1(t)yt 1 an(t)yt=f(t)
的差分方程，称n阶非齐次方程线性差分方程。在其中a1(t），a2(t），…，an-1(t），an(t）和f(t）全是t的已知函数，且an(t）≠0，f(t）≠0 。而就像
yt n a1(t)yt n-1 … an-1(t)yt 1 an(t)yt=0
的差分方程，称之为n阶齐次方程线性差分方程。在其中ai(t)(i=1，2，…，n）为t的已知函数，且an(t）≠0 。
如果ai(t)=ai(i=1，2，…，n）均为参量（an≠0），则有
yt n a1yt n-1 a2yt n-2 … an-1yt 1 anyt=f(t），
yt n a1yt n-1 a2yt n-2 … an-1yt 1 anyt=0 。
各自称之为n阶常指数非齐次方程线性差分方程和n阶常指数齐次方程线性差分方程。
定理
定理1（齐次方程线性差分方程解的叠加定理）
若y1(t），y2(t），…，ym(t）是齐次方程线性差分方程yt n a1yt n-1a2yt n-2 … an-1yt 1 anyt=0的m个特解（m≥2），则其线性组成y(t)=A1y1(t) A2y2(t) … Amym(t）也是方程的解，在其中A1，A2，…，Am为随意参量。
定理2n阶齐次方程线性差分方程yt n a1yt n-1a2yt n-2… an-1yt 1 anyt=0一定存有n个线性不相干的特解。
定理3（齐次方程线性差分方程通解构造定理）
假如y1(t），y2(t），…，yn(t）是齐次方程线性差分方程yt n a1yt n-1a2yt n-2… an-1yt 1 anyt=0的n个线性不相干的特解，则方程的通解为：
yA(t)=A1y1(t) A2y2(t) … Anyn(t），
在其中A1，A2，…，An为n个随意（单独）参量。
定理4（非齐次方程线性差分方程通解构造定理）
假如 (t）是是非非齐次方程线性方程yt n a1(t)yt n-1 a2(t)yt n-2… an-1(t)yt 1 an(t)yt=f(t）的一个特解，yA(t）是其相匹配的齐次方程线性方程yt n a1yt n-1a2yt n-2… an-1yt 1 anyt=0的通解，那麼，非齐次方程线性差分方程的通解为：
y(t)=yA(t)(t)
即
y(t)=A1y1(t) A2y2(t) … Anyn(t)(t），
这儿A1，A2，…，An为n个随意（单独）参量。
通解特解
齐次方程差分方程的通解
将方程yt 1 ayt=0改变为：yt 1=-ayt，t=0，1，2，… 。假设在原始時刻（即t=0）时，涵数yt取随意值A，那麼由上式多次迭代更新，算得
y1=-ay0=-aA，y2=-ay1=(-a)2A，………………方程的通解为yt=A(-a)t ，t=0，1，2，…
假如给出初始条件t=0时yt=y0，则A=y0，这时特解为：yt=y0(-a)t
非齐次方程方程的通解与特解
迭代法求通
将方程改变为 yt 1=(-a)yt f(t）， t=0，1，2，… 。
逐渐迭代更新，则有
y1=(-a)y0 f(0），y2=(-a)2y0 (-a)f(0) f(1），y3=(-a)3y0 (-a)2f(0) (-a)f(1) f(2），………………
由数学归纳法，必得
差分方程
在其中
差分方程
为方程的特解。yA(t)=(-a)ty0为相匹配的齐次方程方程的通解。
先求齐程的通解
y(x 2)-6y(x 1) 8y(x)=0
特征多项式为
r^2-6r 8=0,
求取特点
r1=2,r2=4.因此相匹配的齐次方程方通解为
y(x)=A*2^x B*4^x
【求差分方程的通解步骤】再说方程的一个特解：
设y(x)=ax^2 bx c.那麼
y(x 2)-6y(x 1) 8y(x)=2 3x^2
--->3ax^2 (3b-8a)x (-2a-4b 3c)=2 3x^2
--->a=1, b=8/3, c=44...
差分方程又被称为递推表达式，是带有不明涵数以及差分信号，但不带有导函数的方程。达到该方程的函
数称之为差分方程的解。差分方程是求微分方程的离散化。