余数非数( 二 )
总而言之，秦九韶实际上证明了：“物不知数” 问题存在唯一解当且仅当该问题所涉及的所有模数两两互素 。
秦九韶对这个问题的解答被称为 “中国剩余定理”，它是很罕有的被世界数学界公认由中国人最早给出完整证明的数学定理 。它在现代数学中有极其重要的推广，其普遍形式是现代数学的基石之一 。
回到正题 。这一节介绍的是有限域 。首先回忆一下，“域” 就是一些互相能做加减乘除四则运算的东西放在一起的一个集合 。我们在前面的篇章里介绍过有理数域、代数数域、实数域、p-adic 数域 。它们都包含无限个元素 。而在这一篇里，我们已经看到了有限域的例子：比如模5同余类组成的集合，{ [0], [1], [2], [3], [4] }, 记为 F5 。
这些元素之间可以做加、减、乘运算，其过程无非是先把它们当作整数进行运算，再将运算结果模5 。除法就没有这么直接，因为普通整数除法的结果不一定是整数，模5这种操作可能没有意义 。不过我们知道除以一个数等价于乘上这个数的倒数，而当模数为素数的时候，非零同余类的倒数总是存在的 。所以在 F5 里面我们也可以自由地做除法 。
显然，对每一个素数 p, 我们就有一个有限域 Fp. 其它的有限域都是什么样子呢?数学论证表明，任何一个有限域，它的元素个数必定是某个素数的幂，pn, 而它的元素都满足多项式方程
xpn -x = 0.
实际上，正如有理数域通过添加多项式方程的解得到更大的数域，Fp 添加以上方程的所有解就得到元素个数为 pn 的有限域 。不过，对于不熟悉抽象数学语言的读者，有限域跟其它我们提到的数域有一个重要差别：有限域的元素一般不存在直观的表示 。而其它数域的元素一般会有比较直观的表示方法，比如，代数数一般可以表示为复数a+bi, 实数可以表示为小数，p-adic 数可以表示为大数，等等 。所以，其实我们应该承认：余数非数 。
由于有限域的元素个数有限，以它们为系数的“向量空间” 就成为有限的对象，同时又具有普通向量空间所具有的丰富结构，很多科学工程领域应用有限域上的向量空间帮助建立数学模型 。比如，有限域在密码学和编码学中发挥着极其重要的作用 。
纯数学领域，对有限域上代数方程组的研究引导数学家韦伊在 1949 年提出一系列猜想，试图将数论问题与几何(拓扑)概念作类比 。为了解决韦伊猜想，格罗登迪克发展出了一整套新概念、新方法、新体系，形成了“现代代数几何” 。发展至今，这一“发源于”有限域的新体系已经全面改变了整个数学的观念和语言 。
下一节我们将把眼光转向另一个创生新数的领域 ── 数学物理，接触一些似数非数，遵循另类运算规则的数学对象 。首先出场的将是听上去很像从中国传统文化中走下来的“四元数” 。