谈谈自然数的扩充( 二 ) _小知识

证毕！

n 与 n -- 0 之间的关联考虑自然数集到整数集的一个映射，
对于加法而言，我们有

对于乘法而言，我们有

因此对于加法和乘法两种运算来说，是自然数集到整数集的一个同态，进而自然数集可以同构于整数集的一个子集，也就是所有形如的整数构成的集合。换而言之，所有形如的整数和自然数具有完全相同的运算性质，因此在不破坏定义以及运算性质的前提下，可以很自然地将自然数集看作是整数集的子集，其中定义。

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相反数

定义 (整数的相反数)：整数 a -- b 的相反数 - (a -- b) 定义为 b -- a。特别地，若 n = n -- 0 是一个自然数，则它的相反数定义为 -n = 0 -- n 。

这个定义是有效的，因为对于两个相等的整数来说，它们的相反数也是相等的：

引理：若 x 是一个正整数，则下面三个陈述有且仅有一个为真：

（1）x 等于 0，
（2）x 是某个正的自然数 n，
（3）x 是某个正的自然数 n 的相反数 -n。

证明：我们先证明 (1)，(2)，(3) 中至少有一个为真。根据整数定义，可以写成的形式，其中为自然数。对于两个自然数而言，仅有三种可能性：b,,">或。若b">，则存在自然数使得，这等价于，这是情况 (2)；若，则
这是情况 (1)；若，即a">，则存在自然数使得，这等价于，这是情况 (3) 。
我们再证明 (1)，(2)，(3) 至多只能有一个成立。根据正自然数的定义，正自然数不能是，从而 (1)，(2) 不可能同时成立；假设 (1)，(3) 同时成立，则存在某个正的自然数，它的相反数，而

矛盾！假设 (2)，(3) 同时成立，则存在两个正自然数使得，而

必然是正自然数，因此矛盾！
证毕！

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减法的定义

整数的代数运算法则：若 x , y , z 为整数，则
x + y = y + x
(x + y) + z = x + (y + z)
x + 0 = 0 + x = x
x + (-x) = (-x) + x = 0
xy = yx
(xy)z = x(yz)
x1 = 1x = x
x ( y + z ) = xy + yz
( y + z ) x = yx + zx.

这里以第一条为例，其他几条同理，由读者自行验证。对于两个整数而言，

因此加法交换律成立。有了整数的运算规则，现在可以定义减法了。

定义 (整数减法)：两个整数的减法定义为

a - b = a + (-b).

由于减法可以看成是加法和相反数的结合，而后两者都是定义有效的，因此减法的定义必然也是有效的。此时，不难验证

这说明与是完全等价的运算，因此现在可以将 “” 替换为 “” 。

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整数的大小顺序我们将自然数的大小顺序拓展至整数。
定义 (整数的大小顺序)：若为整数，我们称大于等于当且仅当存在自然数使得，并记为或。我们称大于当且仅当且，并记为 n">或。

性质 (整数的有序性)：若a, b, c为整数，那么

1. a > b 等价于 a - b 是正自然数。
2. 若 a > b，则 a + c > b + c.
3. 若 a > b 且 c > 0，则 ac > bc.
4. 若 a > b，则 -a < -b.
5. 若 a > b，b > c，则 a > c.
6. 以下三种情况仅有且必有一条成立：a > b，a < b 或 a = b.

整数的几个简单性质现在列举整数几个的简单性质。

命题 ( 0 因子 )：若为整数，则
或

推论 (整数的乘法消去律)：若为整数，不为，则

以上两个性质可以由自然数的性质推广而来，证明留给读者。

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【谈谈自然数的扩充】至此，本文已经介绍完自然数系的扩充——整数系，在整数系中定义了减法，并简单列举了关于整数的一些性质。希望大家对于整数能有更深刻的理解。