初中数学|一道全国初中数学竞赛题：求AC的长，看似简单，正确率却不足10％初中数学

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大家好，今天和大家分享一道全国初中数学竞赛题：在直角三角形ABC中， ∠C=90° ， ∠B=15° ， BC=1 ，求AC的长度？这道题目看起来很简单，但是据说正确率却不足10％。下面我们一起来看一下这道题，如图1 。
图1
不少网友看到这道题都会觉得很简单：AC=BC·tan15°即可求出AC的长。但是在初中数学中， 15°并不算是特殊角，其三角函数值也不能直接使用，那么究竟该怎么求解呢？

初中阶段虽然没有要求记住15°角的三角函数值，但是一般老师都会教学生去推导15°和75°的三角函数值。下面先介绍一个15°角三角函数值的推导方法。
图2
如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90° ， ∠B=30° ， AC=1 。接下来我们来构造出15°的角，怎么构造呢？

延长CB至D ，使得BD=AB 。
在三角形ABD中，就有∠D=∠BAD；
又∠ABC=∠D+∠BAD ，所以∠D=15° 。
这样一来，我们就构造出了一个15°的角，然后在三角形ACD中进行计算。
因为AC=1 ，所以BC=√3 ， AC=2 ，从而得到BD=2；
由勾股定理可以算出AD=√6+√2 ，此时可以求出15°角的三角函数值。
【初中数学|一道全国初中数学竞赛题：求AC的长，看似简单，正确率却不足10％】
图3
再回到竞赛题， 15°不是特殊角，所以我们需要通过做辅助线构造出一个特殊角，比如30°角。那么怎么构造呢？将图3和图1比较一下是不是可以发现两个图形基本差不多啊？所以我们可以从图3得到启发，那就是在三角形内部构造出一个30°角出来。

如图，作AB的垂直平分线交BC于点E ，连接AE 。
根据垂直平分线的性质，得到AE=BE ，所以∠BAE=∠B=15° ，所以∠AEC=∠BAE+∠B=30° 。这样就构造出了一个30°的角，如图4 。
图4
设AE=x ，则BE=x ， CE=BC-BE=1-x 。在直角三角形ACE中，因为∠AEC=30° ，所以CE/AE=√3/2 ，即(1-x)/x=√3/2 。解得x=4-2√3 ，所以AC=2-√3 。如图5 。

图5
另外，也可以直接设AC=x 。在直角三角形ACE中，因为∠C=90° ， ∠AEC=30° ，所以CE=√3x ， AE=2x ，所以BE=2x ，所以BC=CE+BE=√3x+2x=(√3+2)x=1 ，同样可以解得x=2-√3 ，如图6 。
图6
这是一道几何题，据说当时正确率不足10％，难点就在于作出适当的辅助线。只要辅助线做出来了，这道题的难度就变得非常简单。其实作辅助线一直是初中几何题的一个重点和难点，很多同学都是因为作不出辅助线而无法求解。你觉得这道题难吗？