椭圆也有直径圆是特殊的椭圆

微信朋友圈有童鞋问到这样一道题.

配图如下.

这使我想到讲一讲椭圆的"直径".

什么是椭圆的直径？

大家熟悉的是圆的直径，我们知道，过圆心的弦称为圆的直径，圆的直径都是相等的.

用这个定义作类比，过椭圆中心的弦称为椭圆的“直径”.不同的是，椭圆的直径长并不是一个定值，它随弦的倾斜程度不同而变化.

如上图所示，AB就可以称为椭圆的一条直径.

椭圆的直径有什么特性呢？

我们先回顾圆的直径的特性.

如图所示，任取圆O上一点，有AQ垂直于BQ.

回到本题，对于椭圆而言，有没有类似的性质呢？

下面我们作一个推导.

可以证明，即使A,B不是椭圆的长轴顶点，只要弦AB过椭圆的中心，即只要AB是椭圆的直径，上述小结论依然是成立的.

这个结论和圆中的结论是不是有些类似？

其实，我们可以把圆看做椭圆的特例，当短半轴b无限接近a时，椭圆就无限地接近圆.

于是，我们作如下的小结.

运用结论快速解题

下面我们运用这个结论来解这道题.

直线如何能够通过定点呢？

观察上面这个直线方程，P点的纵坐标是变化的，为了使得直线过定点，就应该排除这个因素的干扰，只需要让它的系数为零即可.

如果椭圆焦点在y轴上呢，这个小结论有什么变化？

双曲线是不是也有这样类似的结论呢？动笔试一试.

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