高三的你头疼三角形四心的向量特性，今天告诉你内心后台问问题的童鞋比较多

微信公众号后台问问题的童鞋比较多，我个人精力非常非常地有限，偶尔我稍闲一点的时候选几个有典型意义的题目和大家分享解法.

不只是学生才需要解题，作家王蒙在下放时爱解平面几何题，一方面是练脑子，另一方面也是营造自己的精神小世界，把纷繁复杂的外物隔绝在外.

所以，没事的时候，解几道你感兴趣的题目，不一定是数学题，也能让你暂时忘却外界的烦恼.

闲话少叙，进入正题.

问题源起、四心介绍

微信昵称为“来者犹可追”的朋友问到下面这道题.

平面向量往深处考察的话，就会与三角形的四心联系到一起.

我们常说的三角形四心是哪四个呢？

内心、外心、重心、垂心.

内心，全名叫三角形内切圆圆心，它是三个内角平分线的交点.

外心，全名叫三角形外接圆圆心，它是三边垂直平分线的交点.

重心，它是三角形三边上的三条中线的交点.

垂心，它是三角形三边上的三条高线的交点.

当然，也有读者提到三角形有五心啊.

那么，剩下的这个心就是旁心.

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫三角形旁切圆，旁切圆的圆心成为旁心.

不过，旁心用的少、考的少，所以我们不做过多研究.

本篇研究内心的向量特性

本题求解向量的数量积，前提是要了解三角形内心的向量表示.

三角形的内心是三条角平分线AD，CE，BF的交点.

设AB=c，AC=b，BC=a，I为三角形的内心，则有下面的向量等式：

类似地，还有如下两个向量等式：

以上的向量等式如何证明，留待有兴趣的朋友们去探求.也欢迎你发给我你的探究过程.

有了这个结论做基础，往下就好办了.

继续化简并代入数值.

以后有空的时候，再写一写三角形其它心的向量表示.

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