1、；. 2009 年导数高考题年导数高考题 一、选择题选择题 1.(2009 年广东卷文)函数 x exxf) 3()(的单调递增区间是 A. )2 ,( B.(0,3) C.(1,4) D. ), 2( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】D 【解析】 ( )(3)(3)(2) xxx fxxexexe ,令( )0fx,解得2x ,故选 D 2 （2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线yln()xa相切 ， 则 的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点 00 (,)P xy ， 则 0000 ln1,()yxayx,又 0 0 1 |1 x。

2、x y xa 000 10,12xayxa .故答案选 B 3.（2009 安徽卷理）设ab,函数 2 () ()yxaxb的图像可能是 解析： / ()(32)yxaxab ， 由 / 0y 得 2 , 3 ab xa x， 当xa时 ， y取 极大值 0 ， 当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负 。
故选 C 。
或当xb时0y， 当xb时 ， 0y 选 C 4.（2009 安徽卷理）已知函数( )f x 在 R 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx， 则曲 线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是 （A）21yx （B）yx （C）32yx （D）23yx 解析：由 2 ( )2。

3、(2)88f xfxxx 得 2 (2)2 ( )(2)8(2)8fxf xxx ，. ；. 即 2 2 ( )(2)44f xfxxx ，2 ( )f xx /( ) 2fxx ， 切线方程为 12(1)yx， 即210 xy 选 A 5.（2009 安徽卷文）设 ， 函数的图像可能是 【解析】可得 2 ,() ()0 xa xbyxaxb为的两个零解. 当xa时,则( )0 xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 C 。
【答案】C 6 （2009 江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相 切 ， 则a等于 A1或 25 。

4、 - 64 B1或 21 4 C 7 4 或 25 - 64 D 7 4 或 7 答案：A 【解析】设过(1,0)的直线与 3 yx相切于点 3 00 (,)x x ， 所以切线方程为 32 000 3()yxxxx 即 23 00 32yx xx ， 又(1,0)在切线上 ， 则 0 0 x 或 0 3 2 x，当 0 0 x 时 ， 由0y 与 2 15 9 4 yaxx相切可得 25 64 a，当 0 3 2 x 时 ， 由 2727 44 yx与 2 15 9 4 yaxx相切可得1a， 所以选A. 7.（2009 江西卷理）设函数 2 ( )( )f xg xx ， 曲线( )yg x在点(1, ( 。

5、1)g处的切线 方程为21yx ， 则曲线( )yf x在点(1,(1)f处切线的斜率为 . ；. A4B 1 4 C2D 1 2 答案：A 【解析】由已知(1)2 g， 而( )( )2fxg xx ， 所以(1)(1)2 14fg 故选 A 8.（2009 天津卷文）设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x 2 ,x 下面的 不等式在 R 内恒成立的是 A 0)(xf B 0)(xf C xxf)( Dxxf)( 【答案】A 【解析】由已知 ， 首先令0 x， 排除 B ， D 。
然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用 。
通过 。

6、分析解析式 的特点 ， 考查了分析问题和解决问题的能力 。
9.(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 R t 。
若球的体积以均匀速度 c 增 长 ， 则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比 ， 比例系数为 C B. 成正比 ， 比例系数为 2C C.成反比 ， 比例系数为 C D. 成反比 ， 比例系数为 2C 【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为 3 4 ( )( ) 3 V tR t ， 则 2 ( )4( )( )cV tR t R t ， 由此 可得 4( ) ( )( ) c R t R t R t， 而球的表面积为 2 ( )4( )S tR t ，所以 2 ( )4( )8( )( )vS t 。

7、R tR t R t 表，即 22 8( )( )2 4( )( )( ) ( )( )( ) cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表， 故选 D 10.（2009 全国卷理）曲线 21 x y x 在点 1,1处的切线方程为 A. 20 xy B. 20 xy C.450 xy D. 450 xy 解解： 111 22 2121 |1 (21)(21) xxx xx y xx , 故切线方程为1(1)yx ,即20 xy 故选故选 B. 11.（2009 湖南卷文）若函数( )yf x的导函数在区间 , a b 上是增函数 ，则函数( )yf x在区间 ,。

8、a b 上的图象可能是【 A 】 . ；. A B C D 解: 因为函数( )yf x的导函数( )yfx在区间 , a b 上是增函数 ， 即在区间 , a b 上 各点处的斜率k是递增的 ， 由图易知选 A. 注意 C 中yk 为常数噢. 12.（2009 陕西卷文）设曲线 1* () n yxnN 在点（1 ， 1）处的切线与 x 轴的交点 的横坐标为 n x,则 12n xxx的值为 (A) 1 n (B) 1 1n (C) 1 n n (D) 1 答案:B 解析: 对 1* ()(1) nn yxnNynx 求导得,令1x 得在点（1 ， 1）处的切线的斜 率1kn,在点 （1 ， 1）处的切线方程为 。

9、1(1)(1)(1) nn yk xnx ,不妨设0y , 1 n nn x 则 12 12311 . 23411 n nn xxx nnn , 故选 B. 13.（2009 天津卷理）设函数 1 ( )ln (0), 3 f xxx x则( )yf x A 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均有零点 。
B 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均无零点 。
C 在区间 1 ( ,1) e 内有零点 ， 在区间(1, ) e内无零点 。
D 在区间 1 ( ,1) e 内无零点 ， 在区间(1, ) e内有零点 。
【考点定位】本小考查导数的应用 ， 基础题 。
解析：由题得 x x x xf 。

10、 3 31 3 1 )(， 令0)( xf得3 x；令0)( xf得 30 x；0)( xf得3 x ， 故知函数)(xf在区间)3 , 0(上为减函数 ， 在区间 ababa o x o x y ba o x y o x y b y . ；. ) , 3 ( 为增函数 ， 在点3 x处有极小值03ln1 ；又 01 3 1 ) 1 ( , 0 1 3 , 3 1 )1( ee f e eff ， 故选择 D 。
14.（2009 重庆卷文）把函数 3 ( )3f xxx的图像 1 C向右平移u个单位长度 ， 再 向下平移v个单位长度后得到图像 2 C若对任意的0u， 曲线 1 C与 2 C至多只有 一个交点 ， 则v 。

11、的最小值为（ ） A2B4C6D8 【答案】B 解析根据题意曲线 C 的解析式为 3 ()3(),yxuxuv则方程 33 ()3()3xuxuvxx ， 即 23 3(3)0ux uuv ， 即 3 1 3 4 vuu 对任 意0u 恒成立 ， 于是 3 1 3 4 vuu 的最大值 ， 令 3 1 ( )3 (0), 4 g uuu u 则 2 33 ( )3(2)(2) 44 g uuuu 由此知函数( )g u在（0 ， 2）上为增函数 ，在(2,) 上为减函数 ， 所以当2u 时 ， 函数( )g u取最大值 ， 即为 4 ， 于是 4v。
二、填空题填空题 15.（2009 辽宁卷文）若函数 2 ( ) 1 xa。

12、f x x 在1x 处取极值 ， 则a 【解析】f(x) 2 2 2 (1)() (1) x xxa x f(1) 3 4 a 0 a3 【答案】3 16.若曲线 2 f xaxInx存在垂直于y轴的切线 ， 则实数a的取值范围是 . 解析解析 解析：由题意该函数的定义域0 x， 由 1 2fxax x。
因为存在垂直于 y轴的切线 ， 故此时斜率为0 ， 问题转化为0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存 在零点 。
解法 1 （图像法）再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点 。
当0a 不符 合题意 ， 当0a 时 ， 如图 1 ， 数形结合可得显然没有交点 ， 当0a 如图 2 ， 此时 正好有一个交点 ， 故 。

13、有0a 应填,0 . ；. 或是|0a a。
解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 1 20ax x 在0, 内有解 ， 显然可 得 2 1 ,0 2 a x 17.（2009 江苏卷）函数 32 ( )15336f xxxx的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性 。
2 ( )330333(11)(1)fxxxxx ，由(11)(1)0 xx得单调减区间为( 1,11) 。
亦可填写闭区间或半开半闭区间 。
18.（2009 江苏卷）在平面直角坐标系xoy中 ， 点 P 在曲线 3 :103C yxx 上 ，且在第二象限内 ， 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 ， 则点 P。

14、的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力 。
2 31022yxx， 又点 P 在第二象限内 ， 2x 点 P 的坐标为（- 2 ， 15） 19.（2009 福建卷理）若曲线 3 ( )lnf xaxx存在垂直于y轴的切线 ， 则实数a取 值范围是_____________. 【答案】：(,0) 解析：由题意可知 2 1 ( )2fxax x， 又因为存在垂直于y轴的切线 ，. ；. 所以 2 3 11 20(0)(,0) 2 axaxa xx。
20.(2009 陕西卷理)设曲线 1* () n yxnN 在点（1 ， 1）处的切线与 x 轴的交点的 横坐标为 n x,令lg nn ax ， 则。

15、1299 aaa的值为 . 答案：答案：-2 1* 1 1 12991299 () (1)|11(1)(1) 1 1 298 991 .lg.lg.lg2 2 399 100100 n nn x n yxnN yxynxynynx n x n aaax xx A A AA 解析：点（1 ， 1）在函数的图像上 ， （1 ， 1）为切点 ，的导函数为切线是： 令y=0得切点的横坐标： 21.（2009 宁夏海南卷文）曲线21 x yxex 在点（0,1）处的切线方程为。
【答案】31yx 【解析】2 xx xeey ， 斜率 k20 0 e3 ， 所以 ， y13x ， 即 31yx 解答题 29.(2009 山东卷理) 。

16、（本小题满分 12 分） 两县城 A 和 B 相距 20km ， 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一 点 C 建造垃圾处理厂 ， 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 ， 对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和 ， 记 C 点到城 A 的距离为 x km ，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂 对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比 ， 比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比 ， 比例系数为 k ,当垃圾处理厂建 在的中点时 ， 对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. 。

17、 （1）将 y 表示成 x 的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性 ， 并判断弧上是否存在一点 ， 使建在此处的 . ；. 垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在 ， 求出该点到城 A 的距离;
若 不存在 ， 说明理由 。
解法一:（1）如图,由题意知 ACBC, 22 400BCx, 22 4 (020) 400 k yx xx 其中当10 2x 时 ， y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 (020) 400 yx xx （2） 22 49 400 y xx , 422 322322 89 ( 2 )188(400) (400)(400) xxx y xxx 。

18、x ,令0y 得 422 188(400)xx,所以 2 160 x ,即4 10 x ,当04 10 x时, 422 188(400)xx, 即0y 所以函数为单调减函数,当4 620 x时, 422 188(400)xx,即0y 所 以函数为单调增函数.所以当4 10 x 时, 即当 C 点到城 A 的距离为4 10时, 函数 22 49 (020) 400 yx xx 有最小值. 解法二: （1）同上. （2）设 22 ,400mxnx, 则400mn, 49 y mn ,所以 494914911 ()13()(13 12) 40040040016 mnnm y mnmnmn 当且仅当。

19、49nm mn 即 240 160 n m 时取”=”. 下面证明函数 49 400 y mm 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设 0m1m2160,则 12 1122 4949 () 400400 yy mmmm 1212 4499 ()() 400400mmmm 2112 1212 4()9() (400)(400) mmmm m mmm 21 1212 49 () (400)(400) mm m mmm 1212 21 1212 4(400)(400)9 () (400)(400) mmm m mm m mmm , 因为 0m1m24240240 9 m1 。

20、m29160160 所以 1212 1212 4(400)(400)9 0 (400)(400) mmm m m mmm , A B C x . ；. 所以 1212 21 1212 4(400)(400)9 ()0 (400)(400) mmm m mm m mmm 即 12 yy函数 49 400 y mm 在 (0,160)上为减函数. 同理,函数 49 400 y mm 在(160,400)上为增函数,设 160m1m2400,则 12 1122 4949 () 400400 yy mmmm 1212 21 1212 4(400)(400)9 () (400)(400) mmm m m 。

21、m m mmm 因为 1600m1m2400,所以 4 12 (400)(400)mm9160160 所以 1212 1212 4(400)(400)9 0 (400)(400) mmm m m mmm , 所以 1212 21 1212 4(400)(400)9 ()0 (400)(400) mmm m mm m mmm 即 12 yy函数 49 400 y mm 在 (160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即4 10 x 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧上存在一点 ， 当4 10 x 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总 影响度最小. 【命题立意】:本题主要考查 。

22、了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函 数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 30.(2009 山东卷文)（本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 ( )3 3 f xaxbxx,其中0a （1） 当ba, 满足什么条件时,)(xf取得极值? （2） 已知0a,且)(xf在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 解: (1)由已知得 2 ( )21fxaxbx,令0)( xf,得 2 210axbx , )(xf要取得极值,方程 2 210axbx 必须有解, 所以 2 440ba,即 2 ba, 此时方程 2 210axbx 的根为 22。

23、1 244 2 bbabba x aa , 22 2 244 2 bbabba x aa , . ；. 所以 12 ( )()()fxa xxxx 当0a时, x (-,x1) x 1(x1,x2)x2 (x2,+) f(x)00 f (x)增函数极大值减函数极小值增函数 所以)(xf在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当0a时, x (-,x2) x 2(x2,x1)x1 (x1,+) f(x)00 f (x)减函数极小值增函数极大值减函数 所以)(xf在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当ba, 满足 2 ba时, )(xf取得极值. (2)要使)(xf在区间(0 。

24、,1上单调递增,需使 2 ( )210fxaxbx 在(0,1上恒成立. 即 1 ,(0,1 22 ax bx x 恒成立, 所以 max 1 () 22 ax b x 设 1 ( ) 22 ax g x x , 2 22 1 () 1 ( ) 222 a x a a g x xx , 令( )0g x 得 1 x a 或 1 x a (舍去), 当1a时, 1 01 a ,当 1 (0,)x a 时( )0g x , 1 ( ) 22 ax g x x 单调增函数;
当 1 (,1x a 时( )0g x , 1 ( ) 22 ax g x x 单调减函数, 所以当 1 x a 时,( )g 。

25、 x取得最大,最大值为 1 ()ga a . 所以ba . ；. 当01a时, 1 1 a ,此时( )0g x 在区间(0,1恒成立,所以 1 ( ) 22 ax g x x 在区间 (0,1上单调递增,当1x 时( )g x最大,最大值为 1 (1) 2 a g ,所以 1 2 a b 综上,当1a时, ba ;
当01a时, 1 2 a b 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数 的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等 式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思 想解答问题. 31.（全 。

26、国 ， 文 21） （本小题满分 12 分） 设函数 32 1 ( )(1)424 3 f xxa xaxa ， 其中常数 a1 ()讨论 f(x)的单调性;
()若当 x0 时 ， f(x)0 恒成立 ， 求 a 的取值范围 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力 ， 涉及利用导数讨论函数的单调性 ， 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力 ， 涉及利用导数讨论函数的单调性 ，第一问关键是通过分析导函数 ， 从而确定函数的单调性 ， 第二问是利用导数及函第一问关键是通过分析导函数 ， 从而确定函数的单调性 ， 第二问是利用导数及函 数的最值 ， 由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围 。
数的最值 ， 由 。

27、恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围 。
解： （I）)2)(2(4)1 (2)( 2 axxaxaxxf w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由1a知 ， 当2x时 ， 0)( x f ， 故)(xf在区间)2 ,(是增函数； 当ax22时 ， 0)( x f ， 故)(xf在区间)2 , 2(a是减函数； 当ax2时 ， 0)( x f ， 故)(xf在区间),2(a是增函数 。
综上 ， 当1a时 ， )(xf在区间)2 ,(和),2(a是增函数 ， 在区间 )2 , 2(a是减函数 。
（II）由（I）知 ， 当0 x时 ， )(xf在ax2或0 x处取得最小值 。
aaaaaaaf2424)2)(1 ()2( 3 1 )2( 23。

28、aaa244 3 4 23 af24)0( . ；. 由假设知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , 0)0( , 0)2( 1 f af a 即 . 0 24 , 0)6)(3( 3 4 , 1 a aaa a 解得 1a6 故a的取值范围是（1 ， 6） 32.（2009 广东卷 理） （本小题满分 14 分） 已知二次函数( )yg x的导函数的图像与直线2yx平行 ， 且( )yg x在 1x 处取得极小值1(0)mm设 ( ) ( ) g x f x x （1）若曲线( )yf x上的点P到点(0,2)Q的距离的最小值为2 ， 求m的值； （2）()k kR如何取值时 ， 函数( )yf xk 。

29、x存在零点 ， 并求出零点 解：（1）依题可设1) 1()( 2 mxaxg (0a) ， 则aaxxaxg22) 1(2)( ； 又 gx的图像与直线2yx平行 22a 1a mxxmxxg21) 1()( 22，2 g xm f xx xx，设 ,oo P x y ， 则 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 )()2(| x m xxyxPQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m mmmmm x m x2|2222222 2 2 0 2 2 0 当且仅当 2 0 2 2 0 2 x m x 时 ，2 | PQ取得最小值 ， 即| PQ取得最小值2 当0m时 ， 2)222(m 解得12 m 当0 。

30、m时 ， 2)222(m 解得12 m （2）由 120 m yf xkxk x x (0 x) ， 得 2 120k xxm * . ；. 当1k 时 ， 方程 * 有一解 2 m x， 函数 yf xkx有一零点 2 m x ； 当1k 时 ， 方程 * 有二解4410mk，若0m，1 1k m，函数 yf xkx有两个零点 )1 (2 )1 (442 k km x， 即 1 )1 (11 k km x； 若0m，1 1k m，函数 yf xkx有两个零点 )1 (2 )1 (442 k km x， 即 1 )1 (11 k km x； 当1k 时 ， 方程 * 有一解4410mk , 1 。

31、 1k m , 函数 yf xkx有一零点m k x 1 1 综上 ， 当1k 时, 函数 yf xkx有一零点 2 m x ； 当 1 1k m (0m ) ， 或 1 1k m （0m ）时 ，函数 yf xkx有两个零点 1 )1 (11 k km x； 当 1 1k m 时 ， 函数 yf xkx有一零点m k x 1 1 . 33.（2009 安徽卷理） （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知函数 2 ( )(2ln ),(0)f xxaxa x， 讨论( )f x 的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性 ， 考查分类讨 论的思想方法和运算求解的能力 。
本小题满 。

32、分 12 分 。
解：( )f x 的定义域是(0,+), 2 22 22 ( )1. axax fx xxx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设 2 ( )2g xxax,二次方程( )0g x 的判别式 2 8a . . ；. 当 2 80a， 即02 2a时 ， 对一切0 x 都有( )0fx,此时( )f x 在 (0,) 上是增函数 。
当 2 80a ,即2 2a 时 ， 仅对2x 有( )0fx,对其余的0 x 都有 ( )0fx,此时( )f x 在(0,) 上也是增函数 。
当 2 80a， 即2 2a 时 ，方程( )0g x 有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x , 2。

33、2 8 2 aa x , 12 0 xx. x 1 (0,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx+0_0+ ( )f x 单调递增A极大 单调递减 A 极小 单调递 增 此时( )f x 在 2 8 (0,) 2 aa 上单调递增, 在 22 88 (,) 22 aaaa 是上单调递减, 在 2 8 (,) 2 aa 上单调递增. 34.（2009 安徽卷文）（本小题满分 14 分） 已知函数 ， a0 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）讨论的单调性； （）设 a=3 ， 求在区间1 ， 上值域 。
期中 e=2.71828是自然对数的 底数 。
【思路】由求导可判断得单 。

34、调性 ， 同时要注意对参数的讨论 ， 即不能漏掉 ， 也不 能重复 。
第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数( )f x 在 2 1,e 上的值 域 。
【解析】(1)由于 2 2 ( )1 a f x xx 令 2 1 21(0)tytatt x 得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 2 80a ,即02 2a时, ( )0f x 恒成立. . ；. ( )f x在(,0)及(0,)上都是增函数. 当 2 80a ,即2 2a 时 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 2 210tat 得 2 8 4 aa t 或 2 8 4 aa t w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 8。

35、0 4 aa x 或0 x 或 2 8 4 aa x 又由 2 20tat 得 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 综上当02 2a时, ( )f x 在(,0)(0,)及上都是增函数. 当2 2a 时, ( )f x 在 22 88 (,) 22 aaaa 上是减函数, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在 22 88 (,0)(0,)(,) 22 aaaa 及上都是增函数. (2)当3a 时,由(1)知( )f x 在1,2上是减函数. 在 2 2,e 上是增函数. 又(1)0,(2)23 20ffln 22 2 2 ()50f ee e w.w.w.k.s.5.u 。

36、.c.o.m 函数( )f x 在 2 1,e 上的值域为 2 2 2 23 n2,5le e w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 35.（2009 江西卷文） （本小题满分 12 分） 设函数 32 9 ( )6 2 f xxxxa （1）对于任意实数x ， ( )fxm恒成立 ， 求m的最大值； （2）若方程( )0f x 有且仅有一个实根 ， 求a的取值范围 解：(1) 2 ( )3963(1)(2)fxxxxx, 因为(,)x , ( ) fxm, 即 2 39(6)0 xxm恒成立, 所以 81 12(6)0m , 得 3 4 m， 即m的最大值为 3 4 . ；. (2) 因为 当1x 时 。

37、, ( ) 0fx ;
当12x时, ( ) 0fx ;
当2x 时, ( ) 0fx ;
所以 当1x 时,( )f x 取极大值 5 (1) 2 fa;
当2x 时,( )f x 取极小值 (2)2fa;
故当(2)0f 或(1)0f时, 方程( )0f x 仅有一个实根. 解得 2a 或 5 2 a . 36.（2009 江西卷理） （本小题满分 12 分） 设函数( ) x e f x x （1） 求函数( )f x 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若0k， 求不等式 ( ) (1) ( )0fxkx f x的解集 解： (1) 22 111 ( ) xxx x 。

38、 fxeee xxx , 由 ( ) 0fx ,得 1x . 因为 当0 x 时, ( ) 0fx ； 当01x时, ( ) 0fx ； 当1x 时, ( ) 0fx ； 所以( )f x 的单调增区间是:1,) ； 单调减区间是: (,0) (0,1 ， . (2)由 2 2 1 ( )(1) ( ) x xkxkx fxkx f xe x 2 (1)(1) 0 x xkx e x , 得：(1)(1)0 xkx. 故：当 01k时, 解集是： 1 1xx k ； 当 1k 时 ， 解集是： ； 当 1k 时, 解集是： 1 1xx k . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 37.（2009。

39、天津卷文） （本小题满分 12 分） 设函数0) ,( ,) 1( 3 1 )( 223 mRxxmxxxf其中 （）当时 ， 1m曲线）（ ， 在点（11)(fxfy 处的切线斜率 （）求函数的单调区间与极值； （）已知函数)(xf有三个互不相同的零点 0 ，21,x x ， 且 21 xx。
若对任意 . ；. 的, 21 xxx ， ) 1 ()(fxf恒成立 ， 求 m 的取值范围 。
【答案】 （1）1（2）)(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数 ， 在 )1 ,1 (mm 内增函数 。
函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf ， 且)1 (mf= 3 1 3 2 23 mm 函数)(xf在mx1处取得 。

40、极小值)1 (mf ， 且)1 (mf= 3 1 3 2 23 mm 【解析】解：当1) 1 (,2)(, 3 1 )(1 2/23 fxxxfxxxfm故时 ，所以曲线）（ ， 在点（11)(fxfy 处的切线斜率为 1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）解：12)( 22 mxxxf ， 令0)( xf ， 得到mxmx1,1 因为mmm11, 0 所以 当 x 变化时 ， )(),( xfxf的变化情况如下表： x )1 ,(m m1 )1 ,1 (mm m1 ),1 ( m )( xf+0-0+ )(xf 极小值极大值 )(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数 ， 在)1 ,1 (mm 内 。

【导数|导数09高考汇编】41、增函数 。
函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf ， 且)1 (mf= 3 1 3 2 23 mm 函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf ， 且)1 (mf= 3 1 3 2 23 mm （3）解：由题设 ，)( 3 1 ) 1 3 1 ()( 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程1 3 1 22 mxx=0 由两个相异的实根 21,x x ， 故3 21 xx ， 且 0) 1( 3 4 1 2 m ， 解得 2 1 )( 2 1 mm ， 舍 因为1 2 3 , 32, 221221 xxxxxx故所以 若0)1)(1 ( 3 1 ) 1 (,1 2121 xxfxx则 ， 而0)( 1 xf ，。

42、不合题意 若,1 21 xx 则对任意的, 21 xxx有, 0, 0 21 xxxx . ；. 则0)( 3 1 )( 21 xxxxxxf又0)( 1 xf ， 所以函数)(xf在, 21 xxx的 最小值为 0 ， 于是对任意的, 21 xxx ， ) 1 ()(fxf恒成立的充要条件是 0 3 1 ) 1 ( 2 mf,解得 3 3 3 3 m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上 ， m 的取值范围是) 3 3 , 2 1 ( 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义 ， 导数的运算 ， 以及函数与 方程的根的关系解不等式等基础知识 ， 考查综合分析问题和解决问题的能力 。
38.(2009 湖北卷理)( 。

43、本小题满分 14 分) 在 R 上定义运算 1 :4 3 pqpcqbbc （b、c 为实常数）。
记 2 1 2fc ，2 2fb ， R.令 2 1 fff. 如果函数 f在1处有极什 4 3 ,试确定 b、c 的值； 求曲线 yf上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点； 记 |11g xfxx 的最大值为M.若Mk对任意的 b、c 恒成立 ，试示k的最大值 。
解当1( )byfx时 ， 函数得对称轴 x=b 位于区间 1,1之外 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 此时max ( 1), (1), ( )Mggg b 由 2 (1)( 1)4 ,( )( 1)(1)0ffbf bfbm有 若。

44、10,max ( 1), ( )bgg b 则f (1)f (-1)f (b),g(-1) 于是 2 111 max( 1) ,( )(1)( )(1)( )(1) 222 Mff bff bff bb 若01b ， 则f (=1)f (1)f (b) ， max ( 1), ( )gg bg(1) 于是 2 1111 max( 1) ,( )( 1)( )( 1)( )(1) 2222 Mff bff bff bb 综上 ， 对任意的 b、c 都有 1 2 M . ；. 而当 ，1 0, 2 bc时 ，2 1 ( ) 2 g xx 在区间 1,1上的最大值 1 2 M w.w.w.k.s.5.u.c.o 。

45、.m 故MK对任意的 b ， c 恒成立的 k 的最大值为 1 2 39.（2009 四川卷文） （本小题满分 12 分） 已知函数 32 ( )22f xxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx 。
（I）求函数( )f x 的解析式； （II）设函数 1 ( )( ) 3 g xf xmx ， 若( )g x的极值存在 ， 求实数m的取值范围以及 函数( )g x取得极值时对应的自变量x的值. 【解析解析】 （I）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f,即430bc 又 2 ( )34fxxbxc， 由已知(2)1285fbc得870bc 联立 ， 解得1,1bc . 所以函数的解析式为 32 。

46、 ( )22f xxxx 4 分 （II）因为 32 1 ( )22 3 g xxxxmx 令 2 1 ( )3410 3 g xxxm 当函数有极值时 ， 则0， 方程 2 1 3410 3 xxm 有实数解 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由4(1)0m， 得1m . 当1m 时 ， ( )0g x有实数 2 3 x， 在 2 3 x 左右两侧均有( )0g x ， 故函数 ( )g x无极值 当1m 时 ， ( )0g x有两个实数根 12 11 (21),(21), 33 xmxm ( ), ( )g x g x情况如下表： x 1 (,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 ()x 。

47、 . ；. ( )g x +0-0+ ( )g x 极大值 极小值 所以在(,1) m时 ， 函数( )g x有极值； 当 1 (21) 3 xm 时 ， ( )g x有极大值；当 1 (21) 3 xm时 ， ( )g x有极小值； 12 分 40.（2009 全国卷理）(本小题满分 12 分) 设函数 2 1f xxaInx有两个极值点 12 xx、 ， 且 12 xx （I）求a的取值范围 ， 并讨论 f x的单调性； （II）证明： 2 1 22 4 In f x 解: （I） 2 22 2(1) 11 axxa fxxx xx 令 2 ( )22g xxxa ， 其对称轴为 1 2 x。
由题意知 12 x 。

48、x、是方程( )0g x 的 两个均大于1的不相等的实根 ， 其充要条件为 480 ( 1)0 a ga， 得 1 0 2 a 当 1 ( 1,)xx 时 ，0,( )fxf x在 1 ( 1,)x内为增函数； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 12 ( ,)xx x时 ，0,( )fxf x在 12 ( ,)x x内为减函数； 当 2, ()xx 时 ，0,( )fxf x在 2, ()x 内为增函数； （II）由（I） 2 1 (0)0,0 2 gax ，2 22 (2)axx +2 222 2222222 1(2)1f xxalnxxxx lnx+2 设 22 1 (22 )1() 。

49、 2 h xxxx lnxx，则 22(21)122(21)1h xxxlnxxxlnx 当 1 (,0) 2 x 时 ，0,( )h xh x在 1 ,0) 2 单调递增； 当(0,)x 时 ，0h x ， ( )h x在(0,) 单调递减 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m . ；. 111 2ln2 (,0),() 224 xh xh 当时 故 22 1 22 () 4 In f xh x 41.（2009 湖南卷文） （本小题满分 13 分） 已知函数 32 ( )f xxbxcx的导函数的图象关于直线 x=2 对称. （）求 b 的值； （）若( )f x 在xt处取得最小值 ， 记 。

50、此极小值为 ( )g t， 求 ( )g t 的定义域和 值域 。
解: （） 2 ( )32fxxbxc .因为函数( )fx的图象关于直线 x=2 对称 ，所以 2 2 6 b， 于是6.b （）由（）知 ，32 ( )6f xxxcx ，22 ( )3123(2)12fxxxcxc . （）当 c 12 时 ， ( )0fx ， 此时( )f x 无极值 。
（ii）当 c12 时 ， ( )0fx有两个互异实根 1 x , 2 x.不妨设 1 x 2 x ， 则 1 x 2 2 x. 当 x 1 x 时 ， ( )0fx ，( )f x 在区间 1 (,)x内为增函数； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。

51、 当 1 x x 2 x时 ， ( )0fx ， ( )f x 在区间 12 ( ,)x x内为减函数;
当 2 xx时 ， ( )0fx ， ( )f x 在区间 2 (,)x 内为增函数. 所以( )f x 在 1 xx处取极大值 ， 在 2 xx处取极小值. 因此 ， 当且仅当12c 时 ， 函数( )f x 在 2 xx处存在唯一极小值 ， 所以 2 2tx. 于是 ( )g t 的定义域为(2,) .由 2 ( )3120f tttc得 2 312ctt . 于是 3232 ( )( )626 ,(2,)g tf tttctttt . 当2t 时 ，2 ( )6126 (2)0,g ttttt 所以函数 ( )g。

52、t . ；. 在区间(2,) 内是减函数 ， 故 ( )g t 的值域为(,8). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 42.（2009 福建卷理） （本小题满分 14 分） 已知函数 32 1 ( ) 3 f xxaxbx,且( 1)0f (1) 试用含a的代数式表示 b,并求( )f x 的单调区间； （2）令1a ,设函数( )f x 在 1212 ,()x x xx处取得极值 ， 记点 M ( 1 x , 1 ()f x) ，N( 2 x, 2 ()f x) ， P(,( )m f m), 12 xmx,请仔细观察曲线( )f x 在点 P 处的切线与线 段 MP 的位置变化趋势 ， 并解释以下问 。

53、题： （I）若对任意的 m ( 1 x , x2) ， 线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点 ， 试确 定 t 的最小值 ， 并证明你的结论； （II）若存在点 Q(n ,f(n), x n1 时, 121a 当 x 变化时 ， ( )fx与( )f x 的变化情况如下表： x(,1 2 )a(1 2 , 1)a( 1,) ( )fx+ + ( )f x 单调递增单调递减单调递增 由此得 ， 函数( )f x 的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,)， 单调减区间为 (1 2 , 1)a 。
当1a 时 ， 1 21a 此时有( )0fx 恒成立 ， 且仅在1x 处( )0fx， 故 . ；. 函数(。

54、)f x 的单调增区间为 R 当1a 时 ， 1 21a 同理可得 ， 函数( )f x 的单调增区间为(, 1) 和 (1 2 ,)a ， 单调减区间为( 1,1 2 )a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上： 当1a 时 ， 函数( )f x 的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,)， 单调减区间为 (1 2 , 1)a； 当1a 时 ， 函数( )f x 的单调增区间为 R； 当1a 时 ， 函数( )f x 的单调增区间为(, 1) 和(1 2 ,)a ， 单调减区间为 ( 1,1 2 )a. ()由1a 得 32 1 ( )3 3 f xxxx令 2 ( )230f xxx得 12 1,3xx 由（ 。

55、1）得( )f x 增区间为(, 1) 和(3,)， 单调减区间为( 1,3) ， 所以函数 ( )f x 在处 12 1,3xx 取得极值 ， 故 M（ 5 1, 3 ）N（3, 9）。
观察( )f x 的图象 ， 有如下现象： 当 m 从-1（不含-1）变化到 3 时 ， 线段 MP 的斜率与曲线( )f x 在点 P 处切线的 斜率( )f x 之差 Kmp-( )fm的值由正连续变为负 。
线段 MP 与曲线是否有异于 H ， P 的公共点与 Kmp( )fm的 m 正负有着密切 的关联； Kmp( )fm=0 对应的位置可能是临界点 ， 故推测：满足 Kmp( )fm的 m 就 是所求的 t 最小值 ， 下面 。

56、给出证明并确定的 t 最小值.曲线( )f x 在点( ,( )P m f m处 的切线斜率 2 ( )23fmmm； 线段 MP 的斜率 Kmp 2 45 3 mm 当 Kmp( )fm=0 时 ， 解得12mm 或 . ；. 直线 MP 的方程为 22 454 () 33 mmmm yx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 22 454 ( )( )() 33 mmmm g xf xx 当2m 时 ，2 ( )2g xxx在( 1,2)上只有一个零点0 x， 可判断( )f x 函数在 ( 1,0)上单调递增 ， 在(0,2)上单调递减 ， 又 ( 1)(2)0gg ， 所以( )g x在 ( 1 。

57、,2)上没有零点 ， 即线段 MP 与曲线( )f x 没有异于 M ， P 的公共点 。
当2,3m时 ，2 4 (0)0 3 mm g . 2 (2)(2)0gm 所以存在0,2m使得 ( )0g 即当2,3,m时 MP 与曲线( )f x 有异于 M,P 的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上 ， t 的最小值为 2. （2）类似（1）于中的观察 ， 可得 m 的取值范围为1,3 解法二： （1）同解法一. （2）由1a 得 32 1 ( )3 3 f xxxx， 令 2 ( )230fxxx ， 得 12 1,3xx 由（1）得的( )f x 单调增区间为(, 1) 和(3,)， 单调减区间 。

58、为( 1,3) ， 所以函 数在处取得极值 。
故 M( 5 1, 3 ).N(3, 9) () 直线 MP 的方程为 22 454 . 33 mmmm yx 由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得 3222 3(44)40 xxmmxmm 线段 MP 与曲线( )f x有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函 数 3222 ( )3(44)4g xxxmmxmm在(-1, m )上有零点. 因为函数( )g x为三次函数,所以( )g x至多有三个零点,两个极值点. 又( 1)( )0gg m.因此, ( )g x在( 1,)m上有零点等价于(。

59、)g x在( 1,)m内恰有一个极大 . ；. 值点和一个极小值点,即 22 ( )36(44)0(1,)g xxxmmm 在内有两不相等的实数 根. 等价于 2 22 22 3612440 3( 1)6(44)0 36(44)0 1 mm mm mmmm m （） 即 15 21,25 1 m mmm m 或解得 又因为13m ,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2. 43.（2009 辽宁卷文） （本小题满分 12 分） 设 2 ( )(1) x f xe axx ， 且曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 x 轴平行 。
（I）求 a 的值 ， 并讨论 f（x） 。

60、的单调性； （II）证明：当0,f(cos )f(sin )2 2 时 ，解：（） 2 ( )(121) x fxe axxax .有条件知 ，(1)0f ， 故3201aaa . 2 分 于是 2 ( )(2)(2)(1) xx fxexxexx . 故当(, 2)(1,)x 时 ， ( )fx0； 当( 2,1)x 时 ， ( )fx0. 从而( )f x 在(, 2)， (1,) 单调减少 ， 在( 2,1)单调增加. 6 分 （）由（）知( )f x 在0,1单调增加 ， 故( )f x 在0,1的最大值为 (1)fe ，最小值为(0)1f . 从而对任意 1 x，2 x0,1 ， 有 12 ()()12 。

61、f xf xe . 10 分 而当0, 2 时 ， cos ,sin0,1. . ；. 从而 (cos )(sin )2ff 12 分 44.（2009 辽宁卷理） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= 2 1 x 2 ax+(a1)ln x ， 1a。
（1）讨论函数( )f x 的单调性； （2）证明：若5a， 则对任意 x1 ， x2 (0,)， x1x2 ， 有 12 12 ()() 1 f xf x xx。
解：(1)( )f x 的定义域为(0,)。
2 11(1)(1) ( ) axaxaxxa fxxa xxx 2 分 （i）若11a 即2a ,则 2 (1) ( ) x fx 。

62、 x 故( )f x 在(0,) 单调增加 。
(ii)若1 1a ,而1a ,故12a,则当(1,1)xa时 ，( ) 0fx ;
当(0,1)xa及(1,)x时 ，( ) 0fx 故( )f x 在(1,1)a单调减少 ， 在(0,1),(1,)a单调增加 。
(iii)若11a ,即2a ,同理可得( )f x 在(1,1)a单调减少 ， 在(0,1),(1,)a单调 增加. (II)考虑函数 ( )( )g xf xx 2 1 (1)ln 2 xaxaxx 则 2 11 ( )(1)2(1)1 (1 1) aa g xxaxaa xx g 由于 1a1,证明对任意的 c,都有 M2: ()若 MK 对任意的 b、c 恒成立 ， 试求 k 的最大值 。
本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识 ， 考察综合运用数学知识 进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分 14 分） （I）解： 2 ( )2fxxbxc， 由( )f x 在1x 处有极值 4 3 可得 (1)120 14 (1) 33 fbc fbcbc 解得 1 , 1 b c 或 1 3 b c 若1,1bc， 则 22 ( )21(1)0fxxx 。

来源：(未知)

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标题：导数|导数09高考汇编