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各位关注数学世界的朋友 ， 大家好！数学世界将继续为大家分析和讲解初中数学中与圆有关的面积综合题 ， 笔者希望通过对习题的解析 ， 能够为广大初中生学习相关的数学知识提供一些帮助！
长期关注数学世界的朋友都知道 ， 数学世界一直都是精心挑选有代表性的数学题分享给大家 ， 希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣 ， 并能给广大学生学习数学这门课程提供助力！
今天 ， 数学世界分享一道与圆有关的面积计算的解答题 ， 涉及了切线的判定 ， 扇形面积 ， 直角三角形的性质和判定等知识 。 下面 ， 数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图 ， 以△ABC的边AB为直径画⊙O ， 交AC于点D ， 半径OE∥BD ， 连接BE ， DE ， BD ， 且BE交AC于点F ， ∠DEB=∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF=BC=2 ， 求图中阴影部分的面积．

知识回顾
圆周角定理推论：在同圆或等圆中 ， 同弧或等弧所对的圆周角相等 ， 相等的圆周角所对的弧也相等 。
切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。
分析与解答：（请大家注意 ， 想要正确解答一道数学题 ， 必须先将大体思路弄清楚 。 以下过程可以部分调整 ， 并且可能还有其他不同的解题方法）（1）要证BC是⊙O的切线 ， 只要推出AB⊥BC即可 ， 而∠ADB的度数是90° ， 结合条件可以求出∠ABD+∠DBC=90° ， 根据切线判定即可得证；（2）连接OD ， 分别求出三角形DOB面积和扇形DOB面积 ， 两部分的面积相减即可求出结果．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径 ，
∴∠ADB=90° ， （直径所对的圆周角是90°）
∴∠A+∠ABD=90° ， （直角三角形的性质）
∵∠A=∠DEB ， （同弧所对的圆周角相等）
∠DEB=∠DBC ， （已知条件）
∴∠A=∠DBC ， （等量代换）
∵∠A+∠ABD=90° ， （已证）
∴∠DBC+∠ABD=∠ABC=90° ，
∴AB⊥BC ，
∴BC是⊙O的切线；（切线的判定）

（2）解：连接OD ， 如图 ，
（得到三角形DOB和扇形DOB）
∵BF=BC=2 ， ∠ADB=90° ，
∴∠CBD=∠FBD ， （等腰三角形“三线合一”）
∵OE∥BD ，
∴∠FBD=∠OEB ， （平行线的性质）
∵OE=OB ，
∴∠OEB=∠OBE ， （等边对等角）
∴∠CBD=∠DBE=∠OBE=1/3∠ABC=30° ，
∴∠CBF=∠OBD=60° ，
∵BF=BC=2 ， OD=OB ，
∴△BCF和△BOD是等边三角形 ，
∴∠C=∠BOD=60° ， ∠BAC=30° ，
【数学|此题要求圆中阴影部分的面积，解题关键是由角度推出等边三角形】（用勾股定理或者函数知识求出AB）
∴AB=2√3 ，
∴⊙O的半径为√3 ，
∴扇形DOB的面积=60/360×π×3=π/2 ，
等边△BOD的面积=1/2×√3×（√3×√3/2）=3√3/4 ，
（详细计算过程省略）
∴阴影部分的面积=扇形DOB的面积-三角形DOB的面积
=π/2-3√3/4.
（完毕）
这道题是关于圆的综合题 ， 考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质和判定、扇形面积的计算以及等边三角形面积的计算 ， 解题的关键是推出等边三角形 。 温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法 ， 欢迎大家留言讨论 。

来源：(数学世界)

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标题：数学|此题要求圆中阴影部分的面积，解题关键是由角度推出等边三角形