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【自主招生|清华自主招生数学题：已知f(x)=x3-6，求方程f(f(x))=x的解】

大家好！今天和大家分享一道清华大学自主招生考试的数学题：已知f(x)=x3-6 ， 求方程f(f(x))=x的解 。 清华大学作为国内最顶尖的高校之一 ， 自主招生考试题自然不会很简单 。 就像这道题一样 ， 看似简单 ， 却难住了不少的考生 。
下面我们一起来看一下这道题目 。

这是一道函数与方程的综合题 。
根据常规思路 ， 要解方程 ， 那么首先要把这个方程的完整形式呈现出来 。 这个方程的右边很简单 ， 我们需要先把左边部分给表示出来 。
因为f(x)=x3-6 ， 所以根据复合函数的概念可以得到f(f(x))=f3(x)-6=(x3-6)3-6=x 。 此时 ， 方程的形式终于完整呈现出来了 ， 如下图 。

计算到这儿此题都还算正常 ， 可是这个方程怎么解呢？如果是硬解 ， 也方程是一个九次的高次方程 ， 难度可想而知 ， 所以一定有更加简单的方法 。
先观察一下方程的形式 ， 出现两个3次幂的形式：x3和(x3-6)3 ， 那么我们可以考虑能否用到立方和或者立方差公式呢？公式如下图：

如果从x3-6入手利用立方差公式变形 ， 那么离6最近的一个立方数是8 ， 那么x3-6可以写成x3-8+2 ， 其中x3-8=(x-2)(x2+2x+4) ， 但是这样处理后 ， 后面又怎么处理呢？后面并不好处理 ， 所以这样变形没有达到预期效果 ， 然后可以考虑在外层使用立方差公式变形 。
外层(x3-6)3-6可以变形为(x3-6)3-8+2 ， 对(x3-6)3-8因式分解可以得到(x3-6-2)[(x3-6)2+2(x3-6)+4
=(x3-8)[(x3-6)2+2(x3-6)+4
， 再继续分解可以得到(x-2)(x2+2x+4)[(x3-6)2+2(x3-6)+4
。 此时出现了x-2这一项 ， 再回过头看一下 ， 刚才左边加了一个2 ， 如果移到右边 ， 右边也出现了x-2这一项 ， 此时分解因式就算是完成了 。 如下图：

计算到这一步 ， 已经可以看出方程的一个根为2 ， 接下来就需要对后面这个因式对应的方程进行求解 。 后面这部分如果要直接解 ， 也是非常难的 ， 所以也需要从形式入手 ， 找到更简单的方法 。
因为在实数范围内 ， x2+2x+4=(x+1)2+3≥3 ， 同理(x3-6)2+2(x3-6)+4配方后也是大于等于3 ， 所以到(x2+2x+4)[(x3-6)2+2(x3-6)+4
＞9(注意不能等于9 ， 因为两个3取等条件不一样) 。 所以在实数范围内 ， 后面这部分是没有解的 。 综上 ， 还方程的解就是2 。
完整过程如下图：

这道清华自主招生考试题的难点是用立方差公式对方程进行变形 ， 从而进行因式分解 。 你做对了吗？

来源：(观教育)

【】网址：/a/2021/0127/kd649784.html

标题：自主招生|清华自主招生数学题：已知f(x)=x3-6，求方程f(f(x))=x的解