摘要：【初中数学|1道经典初中数学竞赛题，2个方程3个未知数，如何求解|初中数学】那么该怎么求呢？这实际上是考查的因式分解问题。将原方程的两边同时加1，方程就可以变为(x+1)(y+1)=55。因为x、y都是正整数，那么x+1、y+1都是大于1的正整数，即要把55分解成两个大于...

文章图片



文章图片



大家好！今天和大家分享一道非常经典的初中数学竞赛题：已知a、b、c为整数 ， 且满足ab+c=49 ， a+bc=50 ， 求abc的值 。 题目中有三个未知数 ， 但是只有两个方程 ， 如何解出这三个数的值呢？下面我们一起来看一下这道题目 。

对于一般的方程来说 ， 有几个未知数就需要几个方程才能完全解出未知数的值 。 在中学的学习过程中 ， 遇到多元方程通常都是以方程组的形式出现 ， 比如二元一次方程组、三元一次方程组等等 。 但是在一些特殊情况下 ， 方程个数少于未知数的个数同样可以解出未知数的值 。 比如下面这道竞赛题 。

此题只有一个方程 ， 却有两个未知数 ， 要求x+y的值 ， 也只能求出x、y的值 。 那么该怎么求呢？这实际上是考查的因式分解问题 。
将原方程的两边同时加1 ， 方程就可以变为(x+1)(y+1)=55 。
因为x、y都是正整数 ， 那么x+1、y+1都是大于1的正整数 ， 即要把55分解成两个大于1的正整数相乘的形式 ， 即55=5×11 。 接下来再分类讨论：x+1=5 ， y+1=11或者x+1=11 ， y+1=5 ， 从而就可以求出x、y的值 。 过程见下图：

本题中要求出a、b、c的值 ， 也需要用到这样的方法 。 很明显 ， 两个方程单独处理 ， 是没法进行因式分解的 ， 所以需要将两个方程联立起来进行因式分解 。
比如 ， 我们用后面的方程减去前面的方程 ， 即a+bc-ab-c=1 。 然后再将左边因式分解 ， 进一步得到(a-c)(b-1)=1 。
因为a、b、c为整数 ， 所以a-c和b-1也为整数 ， 即两个整数相乘的积为1 ， 而这样的整数只能是1或者-1 。 那么接下来就分类讨论即可：a-c=1 ， b-1=1或者a-c=-1 ， b-1=-1 。 这样就可以求出a、b、c的值 。 具体过程见下图：

当然 ， 这道题如果用前面的方程减去后面的方程也是一样的 ， 有兴趣的可以自己试一下 。
这道题将两个方程相减能够得到答案 ， 那么相加是否能得到答案呢？相加同样能得到答案 ， 但是过程将会非常复杂 。
将两个方程相加 ， 即ab+c+a+bc=99 ， 经过因式分解后得到：(a+c)(b+1)=99 。 同理 ， a+c、b+1也是整数 ， 所以就变成了两个整数之积为99 ， 这样的整数就有点多了 ， 比如1×99 ， (-1)×(-99) ， 3×33等等 ， 那么接下来分类讨论就会非常复杂了 。

【初中数学|1道经典初中数学竞赛题，2个方程3个未知数，如何求解】从上面的解题我们可以看出：当两式相减时 ， 右边的数为1或者-1 ， 此时的情况比较少 ， 容易讨论；而两式相加时 ， 右边的数为99 ， 可以分出很多种情况 ， 讨论起来非常麻烦 。 所以方法的选择非常重要！

来源：(观教育)

【】网址：/a/2021/0128/kd651045.html

标题：初中数学|1道经典初中数学竞赛题，2个方程3个未知数，如何求解