摘要：【初中数学|1道经典的初中数学竞赛题，难度大，4种常用解法帮你搞定|初中数学】比如我们令x=1，y=0，代入后x2+y2也就为1。特殊值可以快速得到一个答案，但是并不一定是全部答案，而且解答题一般也不用特殊值求解。那么此题该怎么解呢？解法1：平方法本质上说，...

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大家好！今天和大家分享一道非常经典的初中数学竞赛题：已知x√(1-y2)+y√(1-x2)=1 ， 求x2+y2的值 。 这道题的难度还是比较大的 ， 不少同学看到题后都是一脸懵 ， 其实这道题的解法非常多 ， 本文介绍4种比较常见的解法 。
下面我们一起来看看这道题 。

此题如果是一道选择题或者填空题 ， 那么用特殊值就可以秒杀 。 比如我们令x=1 ， y=0 ， 代入后x2+y2也就为1 。
特殊值可以快速得到一个答案 ， 但是并不一定是全部答案 ， 而且解答题一般也不用特殊值求解 。 那么此题该怎么解呢？
解法1：平方法
本质上说 ， 题目条件是一个含有两个根号的方程 ， 所以可以考虑用平方的方法去掉根号 。 不过不要直接平方 ， 否则后面的计算会非常复杂 ， 一般把两个根号分别放在等号两边再平方 。 两个根号一次平方是去不掉所有根号的 ， 所以还需要进行二次平方 。
本题的难点就在第二次平方后的计算 ， 一是涉及到三项的完全平方 ， 二是次数比较高 。 不过只要细心一点 ， 问题不大 。

解法2：分子有理化
对于两个根号的方程 ， 除了直接平方 ， 分子分母有理化也是一个常用方法 。
将等式左边的分母看成“1” ， 然后分子分母同时乘以分子的有理化因式 ， 化简后再与题干中的等式结合 ， 得到一个新的等式 ， 再平方即可 。

其实 ， 解法1中 ， 在第一次平方后也是可以不进行第二次平方 ， 而是直接配方成一个完全平方的式子；解法2中 ， 在分子有理化并与题干等式相加后 ， 同样可以不再平方 ， 直接配方成完全平方 。

解法3：换元法
双根号问题除了平方和有理化 ， 换元法也是非常重要的方法 。
令√(1-y2)=m ， √(1-x2)=n ， 那么可以分别用m、n把y和x表示出来 ， 并且可以得到mx+ny=1 ， 然后把这些关系代入需要求解的代数式中 ， 通过配方可以得到两个平方式子和为零的形式 ， 再将得到的关系代入设的式子中即可解出答案 。

解法4：三角换元
因为1-x2≥0 ， 解出x的范围是-1≤x≤1 ， 同理-1≤y≤1 。 对于这样的范围 ， 我们可以尝试用三角函数中的正余弦函数来换元 。
比如设x=cosα(0≤α≤π) ， y=cosβ(0≤β≤π) ， 所以√(1-y2)=sinβ ， √(1-x2)=sinα ， 代入题干条件并通过三角恒等变换的两角和的正弦公式得到sin(α+β)=1 ， 从而得到α+β=π/2 。 然后再代入所求的式子 ， 并变形化简即可得到答案 。

【初中数学|1道经典的初中数学竞赛题，难度大，4种常用解法帮你搞定】不少网友发现可以使用三角换元 ， 但是在换元时却直接设x=sinα ， y=cosα ， 然后代入求出x2+y2=1 。 这样做肯定是不行的 ， 至于原因 ， 欢迎大家在评论区讨论！

来源：(观教育)

【】网址：/a/2021/0128/kd653678.html

标题：初中数学|1道经典的初中数学竞赛题，难度大，4种常用解法帮你搞定