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【数学|1道美国数学竞赛题：解方程，难住众多学霸，变换主元轻松搞定】解方程是中小学数学非常重要的知识板块 ， 也是一种非常重要的解决实际问题的数学方法 。 解方程从小学到高中一直在学习 ， 这也可以看出解方程的重要性 。 那么 ， 今天就和大家分享一道美国数学竞赛题中解方程的题目 ， 题目难度大 ， 难住了不少学霸 。

题目如上图：解方程x3+2√8x2+8x+√8+1=0 。
方程根据未知数的个数可以分为一元方程、二元方程、多元方程；根据未知数的最高指数又可以分为一次方程、二次方程、高次方程等 。 很明显 ， 本题是一道一元三次方程 ， 而解高次方程的基本思想就是因式分解 。
比如我们先看一下下面的一元二次方程 。

一元二次方程的常规解法有开方法、配方法、公式法和因式分解法 ， 其中公式法是一个比较万能的方法 ， 但是学到后面可以感觉到最好用的其实是因式分解法 。
比如上面这个一元二次方程 ， 将方程左边进行因式分解 ， 即可以得到x2-6x-16=(x+2)(x-8)=0 ， 所以原方程的解为-2 ， 8 。
看完这道一元二次方程 ， 再来看一道一元三次方程 。

要解这道一元三次方程 ， 关键还是进行因式分解：x3-4x2-4x+16=(x+2)(x-2)(x-4)=0 ， 所以原方程的解为-2 ， 2 ， 4 。
虽然因式分解是解高次方程的常用方法 ， 但是并不是所有高次方程都可以用因式分解求解 ， 因为有的方程很难进行分解 ， 这时就需要用到其他方法了 ， 比如这道竞赛题就是如此 。

求解这道竞赛题时 ， 可以先尝试用因式分解的方法求解 。 但是在分解过程中就会发现 ， 无论是提公因式法、公式法、十字相乘法 ， 还是分组分解都很难将方程左边的代数式进行分解 ， 所以还需要用另外的方法求解 ， 本题就用到了一种不常用的换元法——变换主元 。

分析：设√8=m ， 则8=m2 ， 然后换元后的方程变成关于m的二次方程 ， 也就是说把x当成一个参数 。
不过 ， 后面的计算用对于x3的处理需要用到立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ， 即x3+1=(x+1)(x2-x+1) ， 然后再对变换主元后的方程进行因式分解 。 分解后可以得到m+x+1=0或者x2+(m-1)x+1=0两个简单的方程 ， 再把m的值代入即可得到x的值 。

这道方程题目看似简单 ， 实则难度很大 ， 不少学霸都束手无策 ， 但是变换主元后可以轻松搞定 。 这道题就分享到这里 ， 如果你有更好地方法可以在评论区留言！

来源：(观教育)

【】网址：/a/2021/0204/kd676970.html

标题：数学|1道美国数学竞赛题：解方程，难住众多学霸，变换主元轻松搞定