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各位关注数学世界的朋友 ， 大家好！数学世界将为大家分析和讲解初中数学中与圆有关的求阴影部分面积的综合题 ， 笔者希望通过对习题的解析 ， 能够为广大初中生学习相关的数学知识提供一些帮助！
长期关注数学世界的朋友都知道 ， 数学世界一直都是精心挑选有代表性的数学题分享给大家 ， 希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣 ， 并能给广大学生学习数学这门课程提供助力！
今天 ， 数学世界分享一道求阴影部分面积的解答题 ， 涉及切线的判定和性质 ， 相似三角形的判定和性质 ， 等腰三角形的性质 ， 平行线的性质等知识 。 下面 ， 数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图 ， 已知四边形ABCD内接于⊙O ， BD是⊙O的直径 ， AE⊥CD于点E ， AD平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=6 ， AE=3 ， 求图中阴影部分面积．

知识回顾
垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两段弧 。
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 。 在直角三角形中 ， 30°角所对的直角边等于斜边的一半 。
在直角三角形中如果一条直角边等于斜边的一半那么这条直角边所对的角等于30度 。
分析与解答：（请大家注意 ， 想要正确解答一道数学题 ， 必须先将大体思路弄清楚 。 以下过程可以部分调整 ， 并且可能还有其他不同的解题方法）下面就简单分析一下此题的思路：（1）连接OA ， 作半径证垂直 ， 利用已知条件可以推出OA∥DE ， 进而证明OA⊥AE ， 即可得到AE是⊙O的切线；
（2）通过证明△BAD∽△AED ， 再利用对应边成比例得到线段之间的等量关系式 ， 从而求出⊙O的半径长 ， 再解直角三角形即可得到相关角的度数 ， 进一步求出阴影部分的面积．
（1）证明：连接OA ， （作半径证垂直）
∵OA=OD ，
∴∠1=∠2．（图上标了数字 ， 方便书写）
∵DA平分∠BDE ，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．（等量代换）
∴OA∥DE．（内错角相等 ， 两直线平行）
∵AE⊥CD于点E ，
∴OA⊥AE．（平行线的性质）
又∵点A在⊙O上 ，
∴AE是⊙O的切线；

（2）解：∵BD是⊙O的直径 ，
∴∠BAD=90°．
∵AE⊥CD ， 即∠AED=90° ，
∴∠BAD=∠AED ，
又∵∠2=∠3 ， （有两个角对应相等）
∴△BAD∽△AED ，
∴BD/AD=BA/AE ，
∵BA=6 ， AE=3 ，
∴BD=2AD ， （由计算推出）
∴∠ABD=30° ，
（在直角三角形中如果一条直角边等于斜边的一半那么这条直角边所对的角等于30度）
∴BD=AB/cos∠ABD=4√3 ， （解直角三角形）
∴OD=2√3 ，
延长AO交BC于H ， 连接OA ，
则四边形AHCE是矩形 ，
∴∠AHC=90° ， CH=AE=3 ，
∴BC=2CH=6 ， （垂径定理）
∴cos∠CBD=BC/BD=6/4√3=√3/2 ，
∴∠CBD=30° ，
∴∠COD=∠AOD=60° ，
（此处也可以由直角三角形求出角度）
∴△COD和△AOD都是等边三角形 ，
∴阴影部分面积=两个相同扇形-平行四边形
=60/360×π×(2√3)^2×2-2√3×3
=4π-6√3.
（完毕）
【数学|这道题求圆中阴影部分面积，巧妙运用相似三角形求出角度是关键】这道题是关于圆的综合题 ， 有一定难度 ， 考查了切线的判定和性质 ， 相似三角形的判定和性质 ， 等腰三角形的性质 ， 平行线的性质 ， 矩形的判定和性质 ， 解直角三角形等知识 ， 解题的关键是利用线段之间的关系求出角度 。 温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法 ， 欢迎大家留言讨论 。

来源：(数学世界)

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标题：数学|这道题求圆中阴影部分面积，巧妙运用相似三角形求出角度是关键