摘要：【物理|量子力学的本质之欧拉恒等式，数学与物理的深度融合|数学】因此，我们的第一步必须是解释什么是域。一个域（F， +， ×），或简单地说F，是一组结合了两个二元运算+和×的对象（称为加法和乘法）足域公理。我们经常省略乘法符号，直接写“...
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【物理|量子力学的本质之欧拉恒等式，数学与物理的深度融合】
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在本系列的第一篇文章中（量子力学的本质 ， 测量和自旋的数学原理）， 我们概述了一些基本的物理直觉 ， 并描述了量子物理与日常生活中的经典物理的一些不同之处 。 经典物理学和量子物理学之间最重要的区别是 ， 量子物理学往往违反经验直觉 ， 因此最好的理解是抽象的数学形式主义 。 在我们继续建立这个形式主义之前 ， 我们需要复习一些数学基础 。
基础的第一步就是要熟悉复数 。 量子物理的大多数数学形式都是用复数来表示的 ， 如果仅仅用实数来表示这种形式 ， 如果可能 ， 也是极其麻烦的 。
域解释复数的最好方法是把它们作为实数域的扩展来引入 。 因此 ， 我们的第一步必须是解释什么是域 。 一个域（F ，+ ，×） ， 或简单地说F ， 是一组结合了两个二元运算+和×的对象（称为加法和乘法）足域公理 。 我们经常省略乘法符号 ， 直接写“ab”而不是a×b 。 二元运算是将一个值赋给一对对象的操作 。 加法是二元运算的一个例子 ， 把两个数相加得到第三个数 。 这与一元元不同 ， 一元运算只接受一个元素（如平方根运算） 。
域公理如下：
- 闭包：若a ， b∈F ， 则a+b∈F a×b∈F 。
- 恒等式：在F中存在元素1和0（不一定是数字1和0） ， 分别称为乘法恒等式和加法恒等式 。 它们的性质是对所有a∈F ， a×1 = a ， a+0 = a 。
- 交换律：a+b =b +a和a×b=b×a 。
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)和(a×b)×c = a×(b×c) 。
- 分配律：a×(b+c) = (a×b)+(a×c) 。
有理数和实数都是非常重要的域 。 给定的任何域F ， 有一些与F相关的重要域 。 第一个是来自F的多项式的所有系数的域 ， 用 F[x
表示 。 第二个重要的域是F的扩展 。
多项式和域扩展给定一个域F ， 我们可以通过邻近元素α（它不是F的元素）得到F的扩展 ， 对于所有ab∈F ， 我们称得到的扩展域F(α)及其元素为a+bα 。 当然 ， 我们可以将元素附加到这个扩展域 ， 例如(F(α))(β) = F(α ， β) ， 这是一个域 ， 其元素是a+bα+cβ（对所有a b c∈F） 。 熟悉线性代数的人会注意到这个扩展就像F上的向量空间一样 ， 它的基是{1 ， α ，β ， 这一事实在域及其扩展的理论中是极其重要的 。 当域扩展的基底中有n个元素时 ， 我们说域扩展是有限的 ， 有n次 。
那我们为什么要费这个劲呢？
假设我们有一个域F和一个多项式p(x)∈F[x
， 即一个多项式的系数是F的元素 ， 但不需要p(x)的根也是F的元素 。 例如多项式x2-2的根是±√2 。 系数1和2是有理数 ， 所以这个多项式是?[x
的一个元素 ， 然而 ， 它的根不是有理数 。 因此 ， x2-2的根域 ， 也就是最小的域（最小是因为没有合适的子域也包含x2+2的根）是?(√2) 。 由于我们刚刚看到存在一个多项式 ， 其系数来自? ， 但其根不是?的元素 ， 我们说?不是代数封闭的 。 但?(√2)也不是 ， 因为考虑多项式x2-3√2的根是±(√3)√(√2) ， 它们不是?(√2)的元素 ， 因为√3不是?(√2)的元素 。
事实上 ， 我们可以证明?的有限扩展没有代数闭的 。 我们可以尝试实数 ， 它是有理数的无限扩展 ， 但?也不是代数封闭的 ， 因为多项式x2+1的根是±√(-1) ， 它不是一个实数 ， 因为任何实数的平方都必须是正的 。分页标题#e#
为了解决这个问题 ， 我们发明了一个新数字i=√(-1) ， 并将这个数字与?邻接 ， 得到?(i) ， 也就是众所周知的? ， 这是一组复数 。 利用复分析的方法 ， 可以证明代数的基本定理 ， 即任何系数取自?的多项式 ， 其根在? 。
本节的目的是演示复数的起源:?是有理数和实数的代数闭包 。 任何系数来自?的多项式 ， 当然也包括其子集?和? ， 都起源于? 。
复代数复数实际遵守的规则要简单得多 ， 它们的行为或多或少与我们预期的方式一致 。 设u = a+ib v = c +id 。 基本的域运算是标准的加法和乘法：
- 加法 ， 将实部和虚部分别相加 ， (a+ib) + (c+id) = (a+c) +i (b+d) 。
- 乘法 ， (a+ib)(c+id) = ac-bd + i(ad+bc) ， 记住i2= -1 。
- 复共轭：给定一个复数z = a+ib ， z的复共轭是a-ib 。
- Re{z和Im{z：分别是z的实部和虚部 。 Re{a+ib = a ， Im{a+ib= b 。
- z的大小：也称为z的模量或绝对值 。 记作|z| 。
现在我们将证明一个著名的 ， 极其重要的结果 。
欧拉恒等式欧拉恒等式允许我们定义一个非常重要的函数叫做复指数：
这个公式传统上是用幂级数来证明的 。 注意：
此外 ， 请注意：
k是任何大于等于0的整数 。 现在我们用指数 ， 正弦 ， 余弦函数的幂级数表示来证明欧拉恒等式：
证毕！
几何解释用复平面（有时也称为高斯平面）上的一点来表示复数非常方便 ， 实部在一个轴上 ， 虚部在另一个轴上的坐标系统：
这种图被称为阿根图 ， 以法国数学家让-罗伯特阿根的名字命名 。
回想一下 ， 我们定义了一个复数a+ib的大小为√(a2+b2) ， 这是一个长度为a和b的直角三角形斜边的长度 。 因此 ， 一个复数的大小就是它到原点的距离 。 r = |a+ib| =√(a2+b2)
根据基本的三角函数 ， a = r×cos(θ) ，b = r×sin(θ) ，θ = arctan(b/a) 。 因此z = a+ib = r×(cos(θ) + i×sin(θ)) 。 因此 ， 利用欧拉恒等式 ， 我们可以用极坐标形式表示z：
当我们用z的实部和虚部来表示z及其在复平面上的位置时 ， 已经用直角坐标或者笛卡尔坐标的形式来表示z了 。
应用 ， 旋转矢量你可能听说过复数可以被认为是在平面上旋转和拉伸向量的变换 。 事实上 ， 复数不仅可以看作是在平面上旋转和拉伸向量的变换 ， 它们是这样的转换的集合 ， 从某种意义上说 ， 每个复数（0除外）都表示这种类型的转换 。
假设有向量(23) ， 将向量逆时针旋转47.5度 ， 然后将向量的长度缩放0.7倍 ， 然后再顺时针旋转25度 ， 最后将向量缩放1.5倍 ， 求其坐标值 。 最直接的方法是通过一系列变换矩阵求得：
新坐标约为(0.735 ， 3.714) 。
矩阵乘法非常繁琐 ， 所以我们可能会问 ， 是否有更简洁的方法 。 幸运的是 ， 利用复数 ， 我们可以很容易求得 。 首先将向量(23)表示为复数2+3i 。 极坐标是√(13)×exp{i×56.31 。 第一个变换矩阵用0.7×exp{i×47.5°表示 ， 第二个变换矩阵用1.5×exp{-i×25°表示 ， 取负号是因为旋转是顺时针的 。 要找到新向量的复数表示 ， 只需将它们相乘：
在三维空间中 ， 如果我们试图只使用矩阵乘法来执行这些运算 ， 将会变得非常困难 。 但是 ， 正如我们可以更容易地使用复数来进行二维变换计算一样 ， 我们可以将复数扩展到一个叫做四元数的新系统 ， 并使用四元数代数来有效地进行这些运算 。 四元数是一个非常有趣的主题 ， 我肯定会在将来的某个时候写它（感兴趣的关注老胡说科学） ， 但这篇文章是为了量子力学而来的 。
来源：(老胡说科学)
【】网址：/a/2021/0210/kd700926.html
标题：物理|量子力学的本质之欧拉恒等式，数学与物理的深度融合
