【数学|【Daily selection】2021年高考数学选题解析14|数学】_

摘要：【数学|【Daily selection】2021年高考数学选题解析14|数学】这种有等式条件的形式中，分式形式是最常用的拼凑信号，例如(a+b)(1/a+1/b)或者(a+1/b)(1/a+b)均能出现符合均值不等式的形式，本题中所求部分出现在条件中，另外还存在与之相乘出现均值...

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数学|【Daily selection】2021年高考数学选题解析14

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标题中的二元不等式是相对于一元不等式来说的，虽然一元不等式最值问题就是函数最值问题，处理二元不等式从思路上分为三种，一是通过换元转化为一元函数最值问题，类似于导数中的双变量问题，将两个变量的整体作为新的变量；二是转化为二元函数最值问题，这种方法限定条件太多，一般要求两个变量互不影响，分设函数分别求最值，但绝大多数这种情况是不存在的，或者可把其中一个变量看做常量，依次求关于两个变量的函数最值，与此法类似的是用拉格朗日乘数法，链接为：不等式专题之二元条件最值中的拉格朗日乘数法；第三是是利用均值不等式或柯西不等式，这种也是高考中最常见的题型，虽然近年来的高考题中对这种较为粗暴的题目不是很待见，今天的选题大部分为第三种情况。
二元最值问题有的给出等式条件，有的没给出，若给出等式条件就需要将所求式子往条件中靠拢，这里需要留意分式和整式，留意如何将整式拆分成分式分母的形式，也需要留意分式分母是否为常数，若是常数，直接均值不等式即可，若不是常数，看是否符合柯西不等式的形式。
若题目中没有等式条件，所求式子为分式形式时，需要留意上下是否齐次，这里的齐次不限于次数相同，还需注意未知元xy是否独立，均值不等式可理解为不改变次数，常用不等式某些情况下可改变次数，简言之，无等式条件的分式二元式子需要注意次数，本次题目如下：

本题目上下齐次，可试着上下同除某部分使之产生符合均值不等式的形式，因为分母二次项y2的系数不同，若直接上下同除x2 ， y2还是xy均不满足两个不等式在同一条件处取等，对于分式多项式来说有时候通分一下情况就会明朗一些了，通分之后分式上下xy的次数完全对称，同除x2y2即可出现所需均值不等式形式。

这种有等式条件的形式中，分式形式是最常用的拼凑信号，例如(a+b)(1/a+1/b)或者(a+1/b)(1/a+b)均能出现符合均值不等式的形式，本题中所求部分出现在条件中，另外还存在与之相乘出现均值不等式的形式，换元即可。

分式并不齐次，上下同除某式的形式不可取，分子中的元素为xyxy ，分母为x2和y2 ，显然x2和y2结合利用常用不等式会出现xy ， x2与常数结合会出现x ， y2与常数结合会出现y ，合理的将分母拆分式子上下可约分的形式即可。

题目中有等式条件，试图将所求往条件中转化，所求2y2/y会出现2y ，但单独的x不容易出现，可先加再减去一个x ，使之出现已知条件，化简后就出现常见的已知a+b=k ，求1/a+1/b最值的形式。

【数学|【Daily selection】2021年高考数学选题解析14】

本题目没难度，将分子往分母的形式靠拢即可，分子中m2+n2可化成m+n的形式， mn利用均值不等式也可出现(m+n)2的形式，分子出现了比分母高一次和常数的形式，拆分即为标准均值不等式的形式。分页标题#e#

三元最值在小题中很少会用到可惜不等式，但在全国卷的不等式选讲中会经常用到，解决三元最值可试着先去掉一元或先去掉两元，至于去什么要根据条件中的未知元的独立性来确定，相似的题目还有下面的第9题，本题中很明显先去掉包含ab的两元，最后转化为关于c的式子即可。
处理关于ab的最值时可上下同除ab ，产生一个分式形式，再与条件中的整式相乘，下面的过程虽也能求最值，但常数3去掉的过于巧妙，甚至说是诡异了。

题目中条件可化为分式形式，但所求并不是整式形式，将所求往条件1/x和2/y上靠拢分析，所求式子左右xy独立，若左右分别同除x2和y2可出现条件中的1/x和2/y此时条件类似于整式，所求式子类似于分式，但所求分式的分子并不是常数，直接相乘无法得到定值，类似于下面的形式，利用柯西不等式即可确定出定值

形式很明显，需要整式和分式相乘，利用待定系数法，将k(x+y)拆分成m(2x-y)和n(x+2y)的形式即可，本题目很具有代表性。

和第6题一样均为三元不等式，条件中给出了a+b=1 ，显然去掉未知元要么是c要么是ab ，本题目求关于ab的最值很有意思，可以做一下。

第10题和第2题类似，很简单，找到分式和整式换元即可。