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各位家长和同学 ， 大家好！今天 ， 数学视窗（数学世界）开始给大家分析讲解初中数学几何题 ， 这道题考查了垂径定理 ， 圆周角的性质 ， 切线的判定 ， 直角三角形的性质 ， 以及平行线的性质等知识 。 下面 ， 我们就一起来看这道例题吧！
例题：（初中数学综合题）如图 ， 已知AB是⊙O的直径 ， 弦DE垂直半径OA ， C为垂足 ， DE=6 ， 连接DB ， ∠B=30° ， 过点E作EM∥BD ， 交BA的延长线于点M．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P ， 当∠APD=45°时 ， 求图中阴影部分的面积．

分析：大家想要正确解答一道数学题 ， 必须先将大体思路弄清楚 。 下面就简单分析一下此题的思路：
（1）首先连接OE ， 由弦DE垂直半径OA ， 根据垂径定理可得出OA垂直平分弦DE ， 以及弧AD与弧AE相等 ， 求得CE的长 。 再根据圆周角求出相关角度 ， 进一步得到OC与OE的关系 ， 然后根据直角三角形的性质 ， 求得∠OEC=30° ， 通过勾股定理 ， 即可求得⊙O的半径；
（2）根据平行线的性质求出∠M ， 再根据直角三角形的性质得到∠MEO=90° ， 即可证得EM是⊙O的切线；
【数学|此题是圆的综合题，难度不大但很典型，圆周角性质是解题关键】（3）由∠APD=45° ， 根据在等圆或同圆中 ， 同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半 ， 即可求得∠EOF的度数 ， 然后根据S阴影=S扇形EOF-S△EOF ， 即可求得阴影部分的面积．
解答：（以下的过程可以部分调整 ， 并且可能还有其他不同的解题方法）
（1）连结OE ， （连半径）
∵DE垂直OA ，
∴CE=1/2DE=3 ， 弧AD＝弧AE ，
∵∠B=30° ，
（等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半 ， ）
∴∠AOE=2∠B=60° ，
∴∠CEO=30° ， OC=1/2OE ，
由勾股定理得
OC^2+CE^2=OE^2
即（1/2OE）^2+9=OE^2
∴OE=2√3 ，
即⊙O的半径是2√3；

（2）∵EM∥BD ， （平行线的性质）
∴∠M=∠B=30° ，
∵∠M+∠AOE=30°+60°=90° ，
∴∠OEM=90° ， 即OE⊥ME ，
∴EM是⊙O的切线；
（3）连结OF ，
∵∠APD=45° ， OA⊥DE ，
∴∠EDF=45° ， （直角三角形的性质）
∴∠EOF=90° ，
（同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半）
∵S阴影=S扇形EOF-S△EOF ，
∴S阴影=1/4π（2√3）^2-1/2（2√3）^2
=3π-6 ，
即图中阴影部分的面积是3π-6.
（完毕）
这道题是关于圆的综合题 ， 有一定难度 ， 综合性很强 ， 考查了垂径定理 ， 切线的判定 ， 直角三角形的性质 ， 以及平行线的性质等知识 。 解题的关键是注意数形结合思想的应用 ， 以及辅助线的作法 。 温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法 ， 欢迎大家给数学视窗留言或者参与讨论 。

来源：(数学视窗)

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标题：数学|此题是圆的综合题，难度不大但很典型，圆周角性质是解题关键