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sae|新高考多选题中的立体几何中选题解析

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今天选取了五道立体几何中的多选题，题目不多，贵在每个题目都有不同的考点倾向，立体几何多项选择常见于新高考多选题中的最后一个，说实话这种题目麻烦确实是真麻烦，立体几何本就抽象，这种题目又喜欢把动点，平行垂直，三类空间角，面积或体积的最值，截面，投影等等塞进去，技巧性远大于程式化的立体几何常规大题。

先从立体几何中的动点说起，之前给出过一起立体几何中的动点轨迹问题，链接为立体几何中的动点轨迹问题，在此类问题中动点引申成不确定直线或不确定平面，而这种不确定性却又能保证平行或垂直或者角度，面积，体积为定值，因此题目中若出现动点，且出现包含动点所满足的特定条件，不仅要先试着将动点的轨迹确定出来，还要分析动点不影响定值的原因，做题时眼光不可过于局限于单独的点线面，要熟练掌握三者的转化关系，更多知识点从下面的题目中引申，题目如下：

这个题目相对简单，只看D选项，二面角A-EC-D即为二面角A-B1C-B ，由于是很规整的直三棱柱，若不用建系来解，可用之前提到的三余弦定理的推广形式来求二面角的余弦值，不熟悉的同学可参考链接：答疑：三余弦定理在三类空间角中的应用

选项A中， P为平面PB1D中的动点，只需证明平面PB1D中确定的一条直线与平面ACD1垂直即可，三棱锥D-ACD1是墙角模型， B1D为体对角线，很明显B1D与平面ACD1垂直。
C选项描述有误， A1P和A1D并不是异面直线，由于P是线段BC1上的动点，可用边和角之间的关系来确定夹角最值的情况，最小值的情况很容易确定，当夹角最大时DP最大，放在直角三角形DCP中看， CD为定值， CP最大时， DP也最大，即可确定出DP最大时P点的位置。
对于D ，转化顶点即可，若以C为顶点， P点的位置不影响C点到平面APD1的距离，也不影响△APD1的面积。

这是一个非常有意思的题目，存在点E和某一翻折位置，即有两个变量共同影响平行垂直和角度，即DE的长度和二面角S-AE-B的角度，插一个题外话，若y=f(ab) ，若保证函数值不变，即便是a变动了，很多时候也存在对应的b使得函数整体保持不变，这也是处理CD选项的思路， AB很容易证明，过程如下：

对于C ，比题目更有价值的是翻折类问题投影的轨迹，以本题为例，沿着AE翻折，翻折后点S(D)在底面上的投影落在原本与AE垂直的线段DF上，知道这个才能确定出所需线面角的平面角，即上图右中的∠SBO两个变量可预先确定一个，在本题中可设出DE的长度，看是否存在一个S-AE-B的平面角，使得∠SBO为45° ，其实没必要证明，就像刚才说的，一个函数中有两个变量，其中一个变动，另外一个相对变动也有可能保持函数整体值不变；对于D选项，依旧如此，依旧是DE的值和二面角S-AE-B来确定出所求二面角为60° ，很显然当∠SGO恰为60°且AO为∠BAE的角平分线时，三角形SGO和三角形SMO全等，调整DE的长度变化是能确定出AO为∠BAE的角平分线的，所以D选项解析虽不完善，但也能理解。

第四题好多搜题软件上的解答是错误的，本题目就是求二面角正切值的取值范围，原图不是很好看，将柱体平放，几何法即可确定出二面角的平面角，如下：分页标题#e#

平面角为∠FGH ，其中FH为定值， GH为变量，那么能否根据垂直关系确定出G点的轨迹？如右图所示，当然轨迹不是一个圆而是圆的一部分，由图可知， G点可与E点重合，此时GH最大为圆的直径，很多答案中将GH的最大值当成2 ，显然并未取得最值，至于GH的最小值，在直角三角形EHG中， EH为定值， EG最大时， GH最小，显然EM切割更多弧长时EG最长，即当M点位于C1位置时EG最大，此时GH最小，这样即可将二面角的正切值范围求出来了。

对于A ，动点M满足垂直关系，可转化为线面垂直再确定出M点的轨迹，这里用到了三余弦定理判定异面直线夹角的方法，链接为思维训练10.投影法求异面直线之间的夹角，先看CP和B1D1两条直线在上底面的投影互相垂直，且B1D1在上底面上， CP和B1D1显然垂直，再看CP和B1G两直线在平面A1B中的投影也垂直且B1G在平面A1B上，则两直线垂直，三余弦定理和三垂线定理是解决立体几何中的常用工具。
对于C ，很容易知道过A点且与平面A1BD平行的平面满足要求，但还有其他平面也可行，三棱锥A-A1BD为墙角模型，过A点且过A点在平面A1BD投影的点O ，且与平面A1BD垂直的平面也符合投影长度相等，此时投影均为三棱锥的高，两两组合共三个平面，因此总共有四个平面符合要求。
对于D ，这个要看个人的空间想象能力了，想象不到的可拿一个模仿，将一个角怼在桌面上且满足桌面与墙角模型的底面平行，这时的正投影为一个正六边形，我特意做了一个3D动图，如下：

【sae|新高考多选题中的立体几何中选题解析】总结：立体几何的多选题综合考查垂直平行，距离角度，面积体积等问题，综合性较强，由于难题难度确定太大，在新高考中即便出现立体几何的压轴多选，每个选项的难度也不会太离谱，否则就太耗时了。