由已知得 , 分离变量 ， 得 .积分得即 , ., 又 代入得， 故。
【考点八十四】形如的微分方程称为齐次方程 。
其解法是固定的：令 ， 则 ， 代入得 .分离变量 ， 得。
两端积分 ， 得 ， 求出积分后 ， 将换成 ， 即得齐次方程的通解 。
【例7.7】求初值问题的解 。
【详解】故此方程为齐次方程 ， 其解法是固定的 。
令 ， 故 ， 积分得 代入 ， 得 即 ， 由已知 ， 代入得 ，所求初值问题的解为， 化简 。

7、得 .【例7.8】设函数在上连续 。
若由曲线 ， 直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 试求所满足的微分方程 ， 并求该微分方程满足条件的解 。
【详解】由旋转体体积计算公式得于是 ， 依题意得.两边对t求导得 将上式改写为， 即 令 ， 则有 当时 ， 由. 两边积分得.从而方程的通解为为任意常数） 。
由已知条件 ， 求得从而所求的解为或【例7.9】求微分方程的通解.【详解】将微分方程进行恒等变形 ， 化为 设 ， 有 ， 则 .积分得 【考点八十五】1. 形如的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程 ， 其通解公式为： .【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分 ， 只表示其中一个任意的原函 。

8、数 ， 不含任意常数c 。
2. 求通解可以套用上述公式 ， 如不套用公式 ， 就用教材中推导公式的方法求解 。
3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程等价于即两边积分得即 【例7.10】微分方程满足的解为 .【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式： ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为， 于是通解为 = ， 由得C=0 ， 故所求解为【评注】 本题虽属基本题型 ， 但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外 ， 本题也可如下求解：原方程可化为 ， 即， 两边积分得 ， 再代入初始条件即可得所求解为【例7.11】设求此微分方程满足条件的特解 。
【详解】先求,是方程的解 ， 代入方程得解出 ， 即 这是一阶线性非齐次微 。

9、分方程 ， 而：对应地 ， 又由 ， 得 ， 即 ，。
【例7.12】设为连续函数 ， （1）求初值问题的解 ， 其中是正常数；（2）若（为常数） 。
证明：当时 ， 有【详解】原方程的通解为由于在本题中未给出函数的具体表达式 ， 在上式中想利用初始条件来确定常数C很困难 。
而通解中的式子实为的一个原函数 ， 因此改写为 ， 于是通解为 。
令 ， 由 ， 得即.故所求的解是 。
（2）由题设及知 ， 当时 ，【例7.13】设有微分方程 ， 其中试求在内的连续函数 ， 使之在和内都满足所给方程 ， 且满足条件 。
【详解】线性方程中的非齐次项有间断点 。
在点处无定义 ， 且为的第一类间断点中的跳跃间断点 。
当及时均可求出方程的解 ， 二者相等 。
又因为是连续函数 ， 故 ， 从而可以确定中的任意常数 。

10、 ， 得到解 。
当时方程为 ， 其通解是 。
将初始条件代入通解中 ， 得到得特解 .又当时方程为 ， 即 ， 两端积分得， 即 .因为是连续函数 ， 所以有 ， .故当时 ， 特解为 。
补充在处的函数值 ， 则得到在上的连续函数 ， 即所求解为 .【例7.14】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ， 且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数 ， 提示应先对F(x)求导 ， 并将其余部分转化为用F(x)表示 ， 导出相应的微分方程 ， 然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由=(2-2F(x),可见F(x)所满足的 。

11、一阶微分方程为 (2) =将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式 ， 得C=-1.于是 【例7.15】f (u , v)具有连续偏导数 ， 且满足.求所满足的一阶微分方程 ， 并求其通解.【分析】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程 。
先求 ， 利用已知关系 ， 可得到关于y的一阶微分方程.【详解】因为 ， 所以 ， 所求的一阶微分方程为.解得 (C为任意常数).【例7.16】设函数f(u)具有二阶连续导数 ， 而z=f(exsiny)满足方程 。
【详解】 代入原方程 ， 得 。
特征方程为 ， 特征根为r=1,-1, 故【例7.17】设f(x)是可微函数且对任何x,y 恒有 又 ， 求f(x)所满足的一阶微分方程 ， 并求f(x)【详解】 令x 。

12、=y=0,得f(0)=2f(0) ，故f(0)=0 。
在方程两边对y求偏导数 ， 有 。
令y=0 ， 得。
于是求f(x) ， 归法为求解下列初值问题：解得 =。

来源：(未知)

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标题：微分方程与差分方程详解与例题( 二 )