由f(0)=0 ， 得C=0 ， 故。
【例7.18】求的通解 。
【详解】化为标准型： ， 对比公式： ， 通解为得新公式： ， 通解为而本题：, ， ,通解为 ， 即【例7.19】设连续 ， 求解方程 .【详解】因为原方程中 ， 均可导 ， 故可导 。
对方程两边同时求导 ， 将积分方程转化为微分方程：， 即 .根据一阶线性微分方程通解公式 ， 得又 , 当时 ，.代入得 . 【例7.20】设函数在区间上连续 ， 且满足方程 ， 且 ， 求 。
【详解】当时 ， 由已知条件， 即. 两边对求导得, 即 .这是一阶线性微 。

13、分方程 ， 代入通解公式 ， 得.令 ， 得 ， 故 。
【例7.21】过点且满足关系式的曲线方程为.【详解】方程化为设 于是 通解由【例7.22】求微分方程 ， 使得由曲线轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小 。
【详解】题设方程可化为利用求解公式 ， 得通解旋转体体积由解得由于故为惟一极小值点 ， 也是最小值点 ， 于是得【考点八十六】可降阶的高阶微分方程：1.大纲要求：会用降阶法解下列高阶微分方程：；（缺）；（缺） 。
2方程：直接求次积分 ， 即可求解 。
3方程：这类方程的特点是不显含未知函数 。
令 ， 则化为关于的一阶微分方程 ， 然后再用解一阶微分方程的解法解之 。
4方程：这类方程的特点是不显含自变量 。
令 ， 则.因而原方程化为关于的一 。

14、阶微分方程： .【例7.23】求初值问题的解 。
【详解】方程不显含 ， 令 ，。
代入原方程得 ， 即 。
分离变量 ， 得 。
两边积分 ， 得 ， 由初始条件：时 ， 故 ，. ， （不合题意舍去）. ， 即.两边积分得 ， 再由 ， 得.所求特解为 ， 即.【例7.24】微分方程的通解为__________ 。
【详解】设 ， 则 .方程化为。
分离变量 ， 得 。
两端积分 ， 得 ， 即 ，.积分得 . 因此应填 .【例7.25】设对任意 ， 曲线上点处的切线在轴上的截距等于 ， 求的一般表达式 。
【详解】曲线在点处的切线为 。
令 ， 得切线在轴上的截距为 。
由已知， 即 。
两端对求导 ， 得。
令 ， 则 。
代入得 ， 分离变量 ， 得。
即。
积分得 。
【例7.26】求微分方程满足条件 ， 的特解 。
【 。

15、详解】设 ， 于是 . 代入原方程 ， 得 ， 即.。
这是关于和的一阶线性方程 ， 其通解为.解出 ， 则或（不合题意舍去） 。
又 ，， 即， 分离变量 ， 得. 两边积分得 ， 代入 ， 得. .【例7.27】函数且满足等式（1）求导数；（2）证明：当【详解】（1）原方程两边乘后再求导 ， 得设则方程化为 ， 故， .由及 ， 知 ， 从而 ， 故.（2）对两端积分 ， 得 ， 即 当于是 ， 所以 【考点八十七】二阶常系数齐次线性微分方程:1标准形式： ， 均为常数 。
2通解公式：特征方程为；若特征方程有互异实根 ， 则通解为；若特征方程有相等实根 ， 则通解为；若特征根为共轭复根（为常数 ， ） ， 则通解为【例7.28】求下列微分方程的特解： ， 当时 ，。
【详解】对应的特征方 。

16、程为， 有二重特征实根. 所以微分方程的通解为 。
求导得 .由已知 ， 当时 ，。
代入得 ，即， 故所求特解为 。
【例7.29】设二阶线性常系数齐次微分方程的每一个解都有在区间上有界 ， 则实数 的取值范围是（ ） 。
（A） （B）（C） （D）解：应选（A） 。
对应的特征方程为则（1）当时 ， 特征根 ， 其通解为 。
其中 ， 而此时在区间内 ， 当 ， 通解无界 。
不合题意 ， 故 。
（2）当时 ， 特征根 ， 其通解为 ， 在内有界 。
故可以等于2 。
（3）当时 ， 特征根其通解为当时 ， 要想使通解在区间上有界 ， 只需要且 成立 。
即（4）当时 ， 特征根为共轭复根 ， 则其通解为要想使通解在区间上有界 ， 只需要 ， 即且 ， 综上所述 ， 当且仅当时 ， 方程的每一个解都在区间上有界 ， 故选（A 。

来源：(未知)

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标题：微分方程与差分方程详解与例题( 三 )