j=0:3;
v=x.j % v=1 x x2 x3;
m=sym(1,x1,x12,x13;
1,x2,x22,x23;
0,1,2*x1,3*x12;
0,1,2*x2,3*x22)mm=inv(m)N=v*mm;
simplify(factor(N)（7）二维一次四结点单元（平面四边形单元或矩形单元）用形函数表达的位移方程如下(5.113)其中形函数矩阵的元素为 ， i=1,2,3,4 (5.114)对于平面四边形单元和矩形单元,可用局部坐标系统很好地加以解释 。
局部坐标的范围定义为-1+1,四个结点的值 。

8、固定 。
局部坐标系下的形函数为(5.115)图3-13 二维一次四结点单元（8）三维一次八结点单元在三维一次单元形函数中 ， 函数值沿三坐标轴（x、y、z轴）呈线性变化 。
假设位移函数沿各坐标轴的线性变化可写成(5.116)假设在i结点的位移值为ui ， 并将数值代入上式 ， 其他各结点(j,k,l,m,n,p,q)亦类推 ， 共有8个式子 ， 其中第1式如下(5.117)可是以求得系数解(5.118)则有(5.119)最后得到形函数的表达式为(5.120)（9）帕斯卡三角形上述各种位移函数的构造有一定的规律 ， 可以根据所谓的帕斯卡三角形加以确定 ， 同时 ， 这样制定的位移模式 ， 还能够满足有限元的收敛性要求 。
以下是几种典型情 。

9、况 。
一维两结点单元的情况：图3-14 一维两结点单元的变量组成一维三结点单元的情况：图3-15 一维三结点单元的变量组成二维高阶单元的情况：常数项线性项二次项三次项四次项五次项图3-16 二维高阶单元的变量组成三维四结点单元的情况：图3-17 三维四结点单元的变量组成6.2形函数的性质下面以平面三角形单元为例讨论形函数的一些性质 。
平面三角形单元的形函数为 ，（i =1, 2 , 3） (a)其中 ， 为三角形单元的面积 ， 为与结点坐标有关的系数 ， 它们分别等于公式中的行列式的有关代数余子式 ， 即a1 、b1 、c1， a2 、b2 、c2 和a3 、b3 、c3 分别是行列式中的第一行、第二行和第三行各 。

10、元素的代数余子式 。
对于任意一个行列式, 其任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值 ， 而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零 。
因此有：第一 ， 形函数在各单元结点上的值 ， 具有“本点是1、它点为零”的性质 ， 即在单元结点1上 ， 满足 (b)在结点2、3上 ， 有(c) (d)类似地有(e)第二 ， 在单元的任一结点上 ， 三个形函数之和等于1 ， 即(f)简记为(g)这说明 ， 三个形函数中只有二个是独立的 。
第三 ， 三角形单元任意一条边上的形函数 ， 仅与该边的两端结点坐标有关、而与其它结点坐标无关 。
例如 ， 在23 边上有(h)这一点利用单元坐标几何关系很容易证明 。
根据形函数的 。

11、这一性质可以证明 ， 相邻单元的位移分别进行线性插值之后 ， 在其公共边上将是连续的 。
例如 ， 单元123和124具有公共边12 。
由上式可知 ， 在12边上两个单元的第三个形函数都等于0 ， 即(i)不论按哪个单元来计算 ， 公共边12上的位移均由下式表示(j)可见 ， 在公共边上的位移u、v 将完全由公共边上的两个结点1、2的位移所确定 ， 因而相邻单元的位移是保持连续的 。
6.3用面积坐标表达的形函数为了能够更好地理解形函数的概念 ， 这里引入面积坐标 。
在如图5.18所示的三角形单元ijm中 ， 任意一点P(x , y)的位置可以用以下三个比值来确定图3-18 平面三角形单元的面积坐标(5.121)式中 ， D三角形单元ijm的面积 ，。

12、Di 、Dj 、Dm 三角形Pjm、Pmi、Pij的面积 。
Li， Lj， Lm叫做P点的面积坐标 。
显然 ， 这三个面积坐标不是完全独立的 ， 这是由于Di +Dj +Dm =D (5.122)所以有Li +Lj +Lm =1 (3-123)对于三角形Pjm ， 其面积为(5.124)故有(5.125)类似地有(5.126)(5.127)可见 ， 前面讲述的平面三角形单元的形函数Ni 、Nj 、Nm 等于面积坐标Li 、Lj 、Lm。
容易看出 ， 单元三个结点的面积坐标分别为结点 i： Li =1 Lj =0 Lm =0结点 j： Li =0 Lj =1 Lm =0 结点m： Li =0 Lj =0 Lm =1根 。

13、据面积坐标的定义 ， 平行于jm边的某一直线上的所有各点都有相同的坐标Li ， 并且等于该直线至jm边的距离与结点i至jm边的距离之比 ， 图3-18中给出了Li的一些等值线 。
平行于其它边的直线也有类似的情况 。
不难验证 ， 面积坐标与直角坐标之间还存在以下变换关系：(5.128)当面积坐标的函数对直角坐标求导时 ， 有下列公式：(5.129)求面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分时 ， 有(5.130)式中, a、b、g 为整常数 。
求面积坐标的幂函数在三角形某一边上的积分值时 ， 有(5.131)式中, l为该边的长度 。

来源：(未知)

【学习资料】网址：/a/2021/0318/0021711081.html

标题：单元|单元形函数的构造( 二 )