1、古塔变形的数学模型 摘要 值得并需要我们的保护 。
古塔被誉为中国古代杰出的高层建筑物 ， 历史悠久 ，本文研究了关于古塔变形的问题 ， 古塔的变形与塔身的中心紧密相关 ， 具体分析了古塔倾斜、弯曲、扭曲的变形情况及趋势 。
对于问题一 ， 建立中心位置模型 ， 采用多边形组合形心的算法 ， 求的结果是表6 ， 7 ， 8 ， 9中的数据； 对于问题二 ， 我们将古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况 ， 分别给予合理的， 即塔尖与底层中心的水平距 离与塔高的比值；对于弯曲变形 ， 我们定义了弯曲率K， 即用中心点所拟合出的空间曲线的曲率来描述古塔各处弯曲率；对于扭曲变形 ， 我们定义了相对扭曲度 ， 利用坐标的旋转变换角度描述古塔的扭曲变形情况 。
利用空间曲线 。

2、拟合、坐标变换等方法以及MATLAB 程序 ， 分别求出了三个变形刻画量的量化指标 。
对于问题三 ， 我们考虑通过古塔的倾斜、弯曲及扭曲程度来分析古塔的变形趋势 ， 由于数据较少 ， 我们利用灰色预测法来分析这三种变形 ， 利用matlab得到的数据来分析古塔的变形趋势 关键词：关键词： 组合图形的形心 拟合 中心变形曲线 灰色预测 一 问题重述 古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用 ， 偶然还要受地震、飓风的影响会产生各种变形 ， 诸如倾斜、弯曲、扭曲等 。
为保护古塔 ， 文物部门需适时对古塔进行观测 ， 了解各种变形量 ， 以制定必要的保护措施 。
现有一古塔已上千年历史 ， 是我国重点保护文物 。
管理部门委托测绘公司先后于198 。

3、6年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测 。
请根据题目提供的4次观测数据 ， 讨论以下问题： 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法 ， 并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标 。
2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况 。
3. 分析该塔的变形趋势 。
二、 模型假设， 参照中国古塔的塔身样式假设塔身水平面是正八角形；12 ， 假设古塔是均质物体 ， 形心就是中心； 3 ， 以地平面为X轴 ， 建立空间直角坐标系X ， Y ， Z； 4 ， 假设塔尖面积极小 ， 近视为一个点； 5 ， 假设模型4中古塔所在地不存在地震等这种偶然事件； 6 ， 假设古塔所在的地平面是水平面 。
三、符号说明 C-第i个三角形的 。

4、形心（i=1,2,6）； i2S-第i个三角形的面积（单位：m)（i=1,2,6）； iA-第i个三角形的形心坐标（单位：m）； iW-第t年塔身的倾斜角(t=1986,1996,2009,2011)； tD-第t年塔身在地面上的水平投影(t=1986,1996,2009,2011)； tH-第t年塔上部与下部的相对位移(t=1986,1996,2009,2011)； tL-第t年塔的拟合直线(t=1986,1996,2009,2011)； tR-塔的倾斜率； m-第t年中心直线x轴的法向量(t=1986,1996,2009,2011)； tn-第t年中心直线y轴的法向量(t=1986,199 。

5、6,2009,2011)； tJ-第t年的中心直线方向向量(t=1986,1996,2009,2011)； tK-塔的曲率； 四、模型准备 （1）给数据用图像形式表现出来题目所给的4次观测数据1986年、1996年塔13层的第五个点数据残缺 。
参照其10层、11层、12层的数据知道第五个点的数值在第四个点和第六个点的数值之间 ， 另外分析后发现这两组数据对题目结果的影响不大 。
因此结合实际和理论 ， 采取取相邻年份该层的第四个点和第六个点的平均值将两组数据补齐 。
（2）用MATLAB软件将题中所给数据及补充的数据画图表现出来 。
五、模型的建立与求解 问题一 塔的变形趋势与塔身的中心有关 ， 因此本题的主要目标 。

6、是计算出塔中心的变化规律 。
问题1属于计算多边形组合形心的数学问题 。
因为1986年受自然、社会影响度较小 ， 最接近古塔的原始图样 ， 所以图形较为有参考价值 ， 用MATLAB画出年塔身的大致图样为八边形 ， 通过假设得出正多边形的形心就是中心 ， 因1986此可运用组合图形形心公式计算出古塔各层中心坐标 。
问题一求古塔各层中心坐标 ， 通过假设知道实质就是计算正多边形的中心 ，运用组合图形求形心的方法 。
S ， SS、S、SS）将每层正八边形的塔面都分为六个三角形（图1-2632514每年各层六个三角形的形心：y?yy?x?xx821812 、)C(133 ， yx?x?xy?y828233 )C、(,233xx?x?yy 。

7、?y?834834 ,)C、(333yy?yxx?x?847847 (,)C、433y?y?yxx?x?674674 )C(、,335xx?x?5?y4?y6y546,()C ，633 代入测量数据 ， 用excel得出： 1986 1986年各层分面积的形心 A1 A2 A3 A4 A5 A6 塔层 坐标(m) 570.8977 ， 570.3780565.1133564.3160565.6707 ， 567.83201 523.7220 520.4057 524.7823 526.9707 523.6693 525.6177 567.8177 ， 570.7933 ， 565.2177564.4383565. 。

8、7107 ， 570.3203 ， 2 520.4773 526.7563 524.6417 523.5770 525.4710 523.6700 567.1797567.6070 ， 567.8037 ， 565.7503 ， 564.5587565.3203 ， 3 520.9890 526.5460 524.0603 524.5040 523.4870 525.3273 570.2180 ， 565.7813 ， 564.6540 ， 565.4017567.7920 ， 570.60874 520.6037 523.5783 526.3787 524.3940 525.2127 523.4147 570.1693 ， 570.5 。

9、210 ， 567.7800 ， 565.8150 ， 564.7567565.48935 520.6640 523.5347 526.1987 525.0893 524.2760 523.3370 570.1233567.2693 ， 565.8483 ， 564.8583 ， 565.5757570.4320 ， 6 520.7217 524.9697 526.0230 524.1610 523.4920 523.2620567.933568.907568.345565.932565.003565.6087519.2110524.0360522.1230525.8013522.8950520.9863567.9375 。

10、66.014565.143565.723568.291568.8368519.4030522.1233522.8597521.0700525.5857523.9140567.945568.239566.096565.286565.840568.7709519.7718521.1480525.3700523.7907522.1207522.8213567.950568.190568.703566.178565.422565.95110519.7718521.2268522.7871522.1205523.6731525.1621 566.2173 ， 565.3411 ， 565.9963 ， 568.17 。

11、75 ， 568.6384 ， 567.9245 ， 11 519.9055 525.1621 522.1686 522.7775 522.8075 521.1750 567.8977566.2073 ， 568.5723 ， 566.4234 ， 568.1537 ， 565.7663 ， 12 520.0395 522.0879 521.3238 522.6799 523.4303 524.7179 568.5314566.3304 ， 568.1358565.9325 ， 568.5088566.5415 ， 13 521.3482 522.0724 523.3134 522.6281 521.3708 524.5037 1996 。

12、 1996年各层分面积的形心 A1 A2 A3 A4 A5 A6 塔层 坐标(m)， 567.6595568.9919568.4069 ， 564.8909564.3162 ， 565.6709 ， 1 518.4570 523.1387 520.6390 522.3034 524.7820 526.9704 2 3 565.7116 ， 526.7554 565.7519 ， 564.4392 ， 524.6499 564.5603 ， 564.9537 ， 522.2315 565.1606 ， 568.3784523.0668 568.4056 ， 567.0461 ， 520.8848 568.9876 ， 567.7212518. 。

13、5824， 567.78164 526.5444， 565.7835524.5024， 564.6562522.2207， 565.2669523.0441， 568.4048520.7551 568.9855 ， 518.2057， 567.82995 526.3765 565.8178 ， 524.3918 564.7594 ， 522.1878 567.2741 ， 523.0065 566.4548 ， 520.8005 568.5384 ， 518.8035， 570.43086 526.1958 563.6743 ， 524.2731 565.4214 ， 521.0509 567.3460 ， 524.1346 5 。

【变形|古塔变形的数学模型】14、66.5451 ， 524.6946 568.4659 ， 523.5249， 570.23777 521.6294 563.8114 ， 520.6144 565.5112 ， 521.1294 565.6125 ， 523.9446， 568.3495524.4789 568.9111 ， 523.4745， 567.93718 521.6232， 566.0185520.6525 565.1478 ， 522.1191， 565.7272522.8911， 568.2953520.9825， 568.8405519.2071， 567.94129 525.5814 564.2483 ， 523.9097 565.797 。

15、3 ， 522.1190 567.4596 ， 522.8554 566.6890 ， 521.0657 568.2713 ， 519.3987， 567.945510 521.6049， 564.4428520.7773， 565.9130521.2459， 567.4925523.6426 566.7358 ， 522.7973， 568.327519.5893， 569.254011 521.5880， 564.6655520.7977， 566.0338521.2496， 567.5067523.5298， 566.6366524.0022 568.3226 ， 523.2009， 569.720712 52 。

16、1.5956， 564.8876520.8531， 566.1544521.2830， 567.5207523.4134， 566.9068523.8619 568.2923 ， 523.1170， 569.587313 521.6031， 565.1091520.9094， 566.2779521.3166， 567.5416523.2978， 566.9817523.7225， 568.2704523.0337， 569.4667522.9465 523.5812 521.6032 520.9556 521.3413 523.1791 2009 年各层分面积的形心2009A1 A2 A3 A4 。

17、 A5 A6 塔层 坐标(m)， 570.9705 ， 562.4995 ， 564.6728 ， 567.1635 ， 566.2995568.7379 ， 1 523.7300 525.0660 520.9321 521.6767 520.3384 524.4607， 567.1945 ， 569.5059569.5556 ， 570.8206562.7235 ， 564.8138 ， 2 523.6727 523.8796 521.6673 520.9648 521.5574 520.3847， 570.6734566.3847562.9424 ， 564.9515 ， 568.6415 ， 567.22413 4 521.6587。

18、563.1175 ， 521.6513 563.3050 ， 520.4308， 565.0616520.4670 565.1797 ， 520.9976 567.2484 ， 521.0232， 567.2741524.2815 566.4188 ， 524.2100 566.4548 ， 524.8619， 568.5920524.7807 568.5384 ， 523.6173， 570.5565523.5727， 570.43085 521.6439 563.6743 ， 520.5062 656.4214 ， 521.0509， 567.3460524.1346 566.5451 ， 524.6946， 568.46595 。

19、23.5249， 570.23776 521.6294 563.8114 ， 520.6144， 565.5112521.1294 567.3735 ， 523.9446， 566.5799524.4789， 568.4390523.4345， 570.16567 521.6232 564.0303 ， 520.6525 565.6546 ， 521.1561， 567.4165523.8915 566.6344 ， 524.3948 568.3961 ， 523.3980， 570.05048 521.6142， 564.2483520.7151， 565.7973521.2012， 567.4596523.757 。

20、2， 566.6890524.2642， 568.3533523.3433， 569.93579 521.6049 564.4428 ， 520.7773 565.9130 ， 521.2459 567.4925 ， 523.6426 566.7658 ， 524.1329 568.3527 ， 523.2876， 569.854010 521.5880， 564.6655520.7977 566.0338 ， 521.2496， 567.5067523.5298 566.8366 ， 524.0022 568.3226 ， 523.2007， 569.720711 521.5955， 564.8876520.8535， 5 。

21、66.1544521.2830， 567.5207523.4134 566.9068 ， 523.8619 568.2923 ， 523.1170， 569.587312 521.6031， 565.1091520.9094， 566.2779520.3166， 567.5416523.2978， 566.9817523.7225 568.2704 ， 523.0337， 569.466713 521.6032 520.9556 521.3413 523.1791 523.5812 522.9465 2011 2011年各层分面积的形心塔层 A1 A2 A3 A4 A5 A6 坐标(m) 562.4995 。

22、7 ， 564.6856564.6730 ， 567.1637 ， 567.1413 ， 568.48001 521.6766 562.7237 ， 5204421 564.8140 ， 520.3383 567.1947 ， 520.9320 566.3432 ， 520.9436 568.7042 ， 523.1363， 570.82082 523.6725 521.6671 520.3844 520.9645 524.3695 524.9621， 562.9428 ， 564.9518567.2245 ， 566.3851568.6419570.67373 523.6176 521.6591 520.4312 520.9979 5 。

23、24.2819 524.8622 4， 570.5569 ， 568.5924 ， 566.4192 ， 567.2488 ， 565.0620 ， 563.11795 521.6509 563.3056 ， 521.6433 563.6750 ， 520.4666 565.1803 ， 520.5056 565.4221 ， 521.0227 567.2747 ， 521.0503 567.3467 ， 524.2096， 566.4554524.1339 566.5458 ， 524.7802 568.5391 ， 524.6939 568.4666 ， 523.5722 570.4314523.5243 570.23846 521.6286。

24、563.8122 ， 520.6136， 565.5120521.1287 567.3743 ， 523.9439， 566.5807524.4782 568.4398 ， 523.4338 570.16647 521.6224 564.0311 ， 520.6517， 565.6554521.1553， 567.4173523.8707 566.6352 ， 524.3940 568.3969 ， 523.3972 570.05128 521.6133 564.2493 ， 520.7142 564.7983 ， 521.2003 567.4607 ， 523.7563 566.6899 ， 524.2633， 568.35435 。

25、23.3424 569.93669 521.6040 564.4439 ， 520.7764 565.9141 ， 521.3884 567.4936 ， 523.1730， 566.7669523.6633， 568.3538522.8180 569.855110 521.5869， 564.666520.7966， 566.0349521.2485， 567.5078523.5287， 566.8377524.0011， 568.3237523.1996 569.721811 521.5944， 564.8889520.8524 566.1557 ， 521.2819 567.5220 ， 523.4123。

26、 ， 566.9081523.8607 568.2936 ， 523.1159 569.588612 521.6018， 565.1104520.9081， 566.2792521.3153， 567.5429523.2965， 566.9830523.7212 568.2717 ， 523.0324 569.468013 521.6018 520.9542 521.3398 523.1777 523.5797 522.9450， 每层六个三角形的面积S、S、S、S、S、S ， 代入测量数据 ， 运行MATLAB652341软件得出： 2009年塔的中心坐标 13层塔中各层划分后的三角形面积塔层 坐标(m) 塔层 。

27、 坐标(m)S1 S2 S3 Xc Xc S4 Yc Yc 01810048S5 Zc Zc S6 塔层(m2) 面积1 2 1 2 类别 567.1157 567.1355 566.7412 567.7195 塔身第一层的中心524.3733 524.2583 522.7005 521.7779 1.7874 7.3203 1.7645 7.309 塔尖 1 2 3 4 3 4 (m) 标 坐6.1067 14.6397 5.7307 13.6402 566.38 567.6101 566.8095 566.8368 x20.6068 19.0662 524.2672 523.8573 52 。

28、2.6437 522.6234 y21.0025 19.3902 12.7553 17.0783 12.7323 17.0698 6.2563 14.7074 5.8397 13.5864 3 4 5 6 5 6 5.3706 12.6962 5.0995 11.9702 567.1858 567.2786 566.8656 566.9541 17.6121 16.5016 523.9879 523.7846 522.597 522.5472 17.8694 16.7059 21.7205 26.2351 21.7094 26.211 5.4461 12.53 11.7211 5.1405 5 。

29、 15.3509 4.8228 15.5058 10.8777 4.8137 11.2141 6 14.2564 4.5239 14.3892 10.1 4.5387 10.5029 7 12.7332 4.0028 8.9259 4.05 9.2672 12.6391 8 11.2171 3.5282 3.6.26 8.139 11.1582 7.8513 9 6.8487 3.1789 7.0817 9.7776 9.8014 3.0811 10 6.1605 8.5571 2.6792 8.5401 5.9673 2.8014 11 7.412 5.2361 7.5312 2.4763。

30、5.3449 2.3588 12 2.0604 6.3613 2.1684 4.5873 6.5647 4.55837 13 1.8931 3.9079 5.6968 5.4238 3.9392 2.6792 7 522.3461 29.8369 567.0062 8 522.5066 33.3509 566.9845 9 36.8549 567.0212 522.4868 10 40.1721 567.0562 522.4707 11 567.0363 522.346 44.4409 12 522.3893 48.7119 567.1611 13 52.8293 567.312 522.40 。

31、24 7 522.5305 29.8246 966.9871 8 522.4932 33.4294 567.0394 9 36.8538 567.0915 522.4604 10 40.6368 567.1463 522.5895 11 567.1897 522.3668 44.4326 12 522.0693 48.6998 567.2313 13 52.8184 567.2799 522.2822 ,y,z)公式：多边形的形心（xccc xssx?xsx?sx?sx?sC53CCC6C2C41651234?xcs?s?ss?s?s 652143 ysy?sy?sssy?sy?yCC4531 。

32、CCC26C632451?ycss?s?s?s?s 635241 Z?Z?Z?Z?Z?ZCCCCCC632145Z?C6 将表1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5中的数据代入形心公式中 ， excel计算的结果如下 1986 1986年塔的中心坐标 1996 1996年塔的中心坐标 Xc Yc Zc 塔层 坐标(m) 1 1.783 566.6531 522.7606 2 7.3146 566.3558 522.6904 3 566.7792 522.6317 12.7508 4 17.0751 566.6888 523.0892 5 21.716 523.4666 567.0364 6 522.5579 26.2 。

33、295 567.04 7 522.1328 566.9986 29.8323 8 566.9059 33.3454 522.1011 9 521.9206 566.8944 36.8483 10 567.071 522.3045 40.1676 11 522.3401 567.1643 44.4354 12 522.2997 567.2123 48.7074 13 522.4045 52.8253 567.5044 2009 2011 年塔的中心坐标2011 Zc Yc Xc 塔层 坐标(m) 1 1.7633 565.8577 520.9166 2 522.6706 566.7785 7.2 。

34、905 3 566.8098 522.6441 12.7269 4 566.8374 522.6197 17.052 5 522.5964 21.7039 566.8662 6 522.5468 566.9548 26.2045 7 29.817 566.9879 522.5246 8 567.0402 33.3366 522.4923 9 567.0925 36.8223 522.2602 10 40.2691 522.4057 567.1474 11 567.1901 522.3656 44.425 12 567.2326 522.326 48.6839 13 52.8131 567.24 。

35、1 522.326 找出古塔各层中心位置的通用方法：将每层平面多边形划分为6个相互独立、互不相交的三角形 ， 并求出每层的6个三角形的形心和面积 ， 运用组合图形的形x ， y,z） ， 即中心位置 。
心坐标公式得出古塔各层中心坐标（ccc问题二 Z X Y Z Ooo 年份1986 567.1157 524.3733 1.7874 567.2473 522.244 55.1233 1.783 567.2544 522.2367 1996 522.7606 55.1198 566.6531 1.7645 2009 566.7412 522.7005 567.336 522.2148 55.091 1.7633 。

36、 565.8577 2011 520.9166 567.3375 522.2135 55.087 (x,y）(x,y)；,各年塔身第一层的中心平面坐标各年塔尖平面坐标 oo 塔身在地面上的水平投影D: 22)y)xx(?D?(?y0t0 H: 塔上部与下部的相对位移 y?yH 0t OPQ中存在：在直角三角形 H?Wtan tDtanW 即为倾斜度；t HarctanW? 倾斜角W: tD r=arctanWt 倾斜率： ；=1.5339=1.5558,W10的数据运算得出 ， W=1.5308,W=1.5564,W代入表2011199620091986年的塔身倾斜了1986=0.7975,r=0 。

37、.7679,r=1.9677；即=2.1334,rr20112009198619962011年的塔身倾斜了1.5564 ， 20091.5308 ， 1996年的塔身倾斜了1.5558 ，年的塔身倾斜了1.5339 。
2-1.2 相对倾斜模型5.3-2 问题MATLAB9、）进行空间直线拟合 ， 利用7对各年份各层的中心点数据（表6、8 软件拟合各年份塔中心线 ， 结果如下： Lx=0.0028z+567.0229 1986 y=-0.04739z+524.57 Lx=0.015z+566.5093 1996 y=-0.0474y+524.5711 Lx=0.0057z+566.9146 2009 y=-0. 。

38、0041y+522.5458 L x=0.0181z+566.4005 2011y=0.0048y+522.1988 由于两平面的交线与这两平面的法线向量都垂直 ， 所以可取 ?jki?nm = J= ?001.00281986198619860.100473 ?jki?nm = J= ?010.005719961996196601.00041 ?jki?nm = J= ?005710.?0200920092009004110.0?jki?nm = = J?.?00112011201120110.0?1 得出中心直线的方向向量： L：（0.0281 ， -0.0473,1）、L：(0.0.57,-0. 。

39、0041,1) 19961986L：(0.0057,-0.0041,1)、L：(0.181,-0.0048,1) 20112009 两向量的夹角的余弦公式： z?zx?yyx1bbbb?1bb?1?(cosw?b?1)222222zyx?y?z*x?1b?1bb?1b?bb 相对倾斜角：xx?yy?zzb?b?b1b?1bb1?arccos?w?222222zy?xy?z*x?1bb?1b?1bbb? 代入1986年和1996年、1996年和2009年、2009年和2011年塔中心线的W=0.049,W=0,W=0.0245；即1996方向向量的数据求得年相对于3120.049 ， 2009年相对 。

40、于1996年倾斜了年没发生倾斜 ， 2011年相当于200919860.0245 。
年倾斜了 5.3-2 问题2-1 弯曲模型 运用表6、7、8中竖坐标的数据在MATLAB中进行三次多项式的拟合 ， 得到： 32-6.8809x-4.8796 -0.3853xy=0.015x1986 32-6.8818x-4.8853 -0.3855xy=0.0152x1996 32-6.8844x-4.9068 =0.0152x-0.385xy2009 32-6.8547x-4.8769 -0.3799xy=0.0149x2011 对拟合后的直线进行一阶求导、二阶求导 ，2?y-0.7706x-6.8809 =0. 。

41、045x1986?y=0.09x-0.7706 19862?y-0.771x-6.8844 =0.0456x1996?y=0.0912x-0.771 19962?-0.77x-6.8844 =0.0456xy2009?y=0.0912x-0.77 20092?-0.7598x-6.8547 =0.0447xy 2011?y=0.0894x-0.7598 2011 曲率计算公式为：y?k 3?21?y2 MATLAB软件运行后的结果： 1986年每层曲率： 0.0028、0.0033、0.0038、0.0041、0.0041、0.0036、0.0025、0.0010、0.0008、0.0023、 。

42、0.0035、0.0041、0.0042 1996年每层曲率： 0.0028、0.0033、0.0038、0.0041、0.0040、0.0034、0.0023、0.0008、0.0009、0.0024、0.0035、0.0040、0.0041 2009年每层曲率： 0.0028、0.0033、0.0038、0.0040、0.0040、0.0034、0.0023、0.0007、0.0009、0.0024、0.0035、0.0040、0.0040 2011年每层曲率： 0.0005、0.0028、0.0030、0.0021、0.0013、0.0007、0.0004、0.0003、0.0002、0 。

43、.0001、0.0001、0.0000、0.0000 对于古塔的扭曲 ， 我们以古塔每层的中心点作为研究对象 ， 研究其横纵坐标的变化 ， 通过比较相邻两年的中心坐标 ， 算出对应的每层中心点偏移的平面距离作为扭曲距离 ， 设每层扭曲距离的权重为wi ， 每层中心点的扭曲距离为mi ， 则建立古塔总扭曲距离型为： 13?wm?s 总扭曲距离：ii1i? 直接用计算器算得扭曲距离如下表所示：1986年-1996年 1996年-2009年 2009年-2011年 m1 1.6777 0.1066 1.9907 m2 1.7511 1.6408 1.2971 m3 1.6835 0.0326 0.0005 m4 1.1995。

44、0.4887 0.0037 m5 0.5423 0.8862 0.0008 m6 1.2497 0.0866 0.0008 m7 1.0151 1.0869 0.0059 m8 1.0067 0.9511 0.0012 m9 0.5802 0.5747 0.2002 m10 0.1669 0.2948 0.1838 m11 0.1281 0.0369 0.0013 m12 0.1032 0.2312 0.2567 0.0586 m13 0.2189 0.2557 1996结合总扭曲距离公式和 matlab软件算得 ， 相应年份的总扭曲距离为 11.9399, 2009年总扭曲距离8.4095年总扭 。

45、曲距离为3.8508 ， 2011年总扭曲距离 问题三本题是分析古塔的变形情况 。
本文中 ， 我们认为建筑物变形由建筑物的倾斜、弯曲、扭曲等而我们的目标是分析古塔未来多年的变由于附录只给出了四次统计的数据 ， 因素共同造成 。
不充分的预测系统灰色预测对古塔未来的变形趋势化趋势 ， 因此我们采用信息不完全、 ）模型1GM进行预测 。
我们建立灰色预测模型（2 ，分别从古塔的倾斜 ， 弯曲 ， 扭曲三个方面来研究古塔变形的趋势 。
由第二问所得到的的数据结果可知三种变形的原始数据序列 带入灰色预测模型 ， 用matlab进行求解 ，倾斜角预测函数 x = 1.55725*t + 0.0257409*exp(-9.68306*t) +。

46、1.28226 epsilon = 0 0.0024 -0.0014 -0.0009 delta = 0 0.0016 0.0009 0.0005 同理 曲率的预测函数及残差、相对误差值 楼层1 0.0028*t - 4.33681e-19*exp(t) + 0.0028 epsilon = 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0023 delta = 0.0000 0.0000 0.0000 4.6000 楼层2 x =0.0033*t - 8.67362e-19*exp(t) + 0.0033 epsilon = 1.0e-03 * 0.0000 0.0000 0.0000 - 。

47、0.5000 delta = 0.0000 0.0000 0.0000 0.1786 楼层3 x =0.0038*t + 8.67362e-19*exp(t) + 0.0038 epsilon = 1.0e-03 * -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.8000 delta = 0.0000 0.0000 0.0000 0.2667 楼层4 x =0.0041*t - 8.67362e-19*exp(t) + 0.0041 epsilon = 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0020 delta = 0.0000 0.0000 0.0000 0.9524 楼层 。

48、5 x = 0.00405094*t + 0.0000499822*exp(0.981481*t) + 0.00405002 epsilon = -0.0000 -0.0001 -0.0003 -0.0033 delta = 0.0000 0.0336 0.0684 2.5729 楼层6 x =0.00350385*t + 0.0000998521*exp(0.962963*t) + 0.00350015 epsilon = 0.0000 -0.0003 -0.0005 -0.0039 delta = 0.0000 0.0781 0.1551 5.5906 楼层7 x = 0.00240556 。

49、*t + 0.0000996914*exp(0.947368*t) + 0.00240031 epsilon = -0.0000 -0.0003 -0.0005 -0.0031 delta = 0.0000 0.1143 0.2224 7.6310 楼层8 x =0.00106667*t - 0.000133333*exp(0.5*t) + 0.00113333 epsilon = 1.0e-03 * 0 -0.1802 -0.2241 -0.5315 delta = 0 0.2252 0.3201 1.7718 楼层9 x =0.000853333*t - 0.0000497778*exp( 。

50、1.07143*t) + 0.000849778 epsilon = 1.0e-03 * 0.0000 0.1422 0.3256 0.1611 delta = 0.0000 0.1580 0.3618 0.8056 楼层10 x = 0.00235106*t - 0.0000499774*exp(1.02174*t) + 0.00234998 epsilon = -0.0000 0.0001 0.0003 -0.0016 delta = 0.0000 0.0574 0.1232 15.6529 楼层11 x = 0.0035*t + 0.0035 epsilon = 0 0 -0.0000。

51、-0.0034 delta = 0 0 0.0000 34.0000 楼层12 x = 0.00405063*t + 0.000049992*exp(0.9875*t) + 0.00405001 epsilon = -0.0000 -0.0001 -0.0003 -0.0047 delta = 0.0000 0.0337 0.0692 Inf 楼层13 x = 0.00415451*t + 0.0000472603*exp(0.962523*t) + 0.00415274 epsilon = 0 -0.0001 -0.0004 -0.0047 delta = 0 0.0319 0.0887 I 。

52、nf 扭曲距离的预测函数及残差、相对误差 楼层1 x =0.963311*t + 0.389552*exp(1.83387*t) + 1.28815 epsilon = -0.0000 -2.9050 -11.7910 delta = 0.0000 27.2515 5.9230 楼层二 x = 1.80323*t - 0.0767589*exp(0.679081*t) + 1.82786 epsilon = 0 -0.0878 -0.3590 delta = 0 0.0535 0.2768 楼层三 x = 1.71689 - 0.0333857*exp(-50.4299*t) - 0.0001 。

53、36527*t epsilon = 1.0e-03 * 0.0000 -0.6491 0.6365 delta = 0.0000 0.0199 1.2731 楼层四 x = 6.00555 - 4.80605*exp(-0.465567*t) - 1.03804*t epsilon = 0.0000 -0.2622 -0.0813 delta = 0.0000 0.5365 21.9736 楼层5 x = 0.638507*t - 0.0692928*exp(1.38841*t) + 0.611593 epsilon = 0 0.4562 0.1979 delta = 0 0.5147 247 。

54、.4058 楼层6 x = 1.34971 - 0.100011*exp(-12.5559*t) - 0.00603342*t epsilon = 0 -0.0074 0.0068 delta = 0 0.0852 8.5413 楼层7 x = 1.01957*t - 0.0041934*exp(1.06642*t) + 1.01929 epsilon = 0.0000 0.0753 -0.9905 delta = 0.0000 0.0693 167.8756 楼层8 x = 1.01016*t - 0.00367165*exp(0.941468*t) + 1.01037 epsilon =。

55、-0.0000 -0.0533 -0.9942 delta = 0.0000 0.0561 828.5308 楼层9 x = 0.580282*t - 0.0000832002*exp(0.985314*t) + 0.580283 epsilon = 0 -0.0054 -0.3797 delta = 0 0.0095 1.8966 楼层10 x = 0.235374*t - 0.031815*exp(2.15225*t) + 0.198715 epsilon = -0.0000 0.3014 2.0300 delta = 0.0000 1.0222 11.0448 楼层11 x = 0.22 。

56、3883 - 0.0957834*exp(-1.5618*t) - 0.0214942*t epsilon = 0.0000 -0.0173 0.0069 delta = 0.0000 0.4688 5.3209 楼层12 x = 0.263044*t + 0.039766*exp(-4.01961*t) + 0.063434 epsilon = -0.0000 0.0072 -0.0056 delta = 0.0000 0.0312 0.0220 楼层13 x = 0.22469*t - 0.0048789*exp(1.18671*t) + 0.223779 epsilon = 0 0.0421 -0.1297 delta = 0 0.1647 2.2134 .六、模型的评价与推广 本文中讨论了古塔的变形特征 ， 围绕着中心点刻画了三种不同变形情况的数学描述 。

来源：(未知)

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标题：变形|古塔变形的数学模型