1、北京市海淀区2016届高三下学期期末练习（二模）数学（理）试题本试卷共4页 ， 150分 。
考试时长120分钟 。
考生务必将答案答在答题卡上 ， 在试卷上作答无效 。
考试结束后 ， 将本试卷和答题卡一并交回 。
一、选择题共8小题 ， 每小题5分 ， 共40分 。
在每小题列出的四个选项中 ， 选出符合题目要求的一项 。
1.已知全集 ，则A. B. C. D.2.在数列中 ， 且 ， 则的值为A. B. C. D.3. 若点在直线（为参数）上 ， 则的值为 A. B. C. D.4.在中 ，则A. B. C. D.:.5.在(其中)的展开式中 ， 的系数与的系数相同 ， 则的值为A. B. C. D.6.函数的零点个数是A.1个 B.2个 C.3个 D 。

2、.4个7. 如图 ， 在等腰梯形中 ， . 点在线段上运动 ， 则的取值范围是A. B.C. D.8.直线与轴的交点分别为, 直线与圆的交点为. 给出下面三个结论： ； ；则所有正确结论的序号是 A. B.C. D.二、填空题共6小题 ， 每小题5分 ， 共30分 。
9. 已知其中为虚数单位 ， 则__. 10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况 ， 抽查了100名同学 ， 统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直方图（如图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在小时内的人数为 ___ .11. 如图 ， 是上的三点 ， 点是劣弧的中点 ， 过点的切线交弦的延长线交于点. 若 ， 则12. 若点在不等式组所表示的平面 。

3、区域内 ， 则原点到直线距离的取值范围是__. 13.已知点 ， 若这三个点中有且仅有两个点在函数的图象上 ， 则正数的最小值为___.14.正方体的棱长为 ， 点分别是棱的中点 ， 以为底面作正三棱柱 ， 若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上 ， 则这个正三棱柱的高.三、解答题共6小题 ， 共80分 。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 。
15. （本小题满分13分）已知函数.（）比较 ， 的大小；（）求函数的最大值. 16.（本小题满分13分）某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调 ， 销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周第五周型数量（台）111015型数量（台）101213型数量（台）15812()求型空调 。

4、前三周的平均周销售量；()根据型空调连续3周销售情况 ， 预估型空调连续5周的平均周销量为10台.请问：当型空调周销售量的方差最小时 ，求 ， 的值；(注：方差 ， 其中为 ， 的平均数)（）为跟踪调查空调的使用情况 ， 根据销售记录 ， 从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台 ， 求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图 ， 等腰梯形中 ， 于 ， 于 ， 且 ， .将和分别沿、折起 ， 使、两点重合 ， 记为点 ， 得到一个四棱锥 ， 点 ， 分别是的中点.（）求证：平面；（）求证：；（）求直线与平面所成的角的大小.18.（本小题满分14分）已知函数. （）当时 ， 求函数的单调区间；（）若关于的不等式在 。

5、上有解 ， 求实数的取值范围；()若曲线存在两条互相垂直的切线 ， 求实数的取值范围.(只需直接写出结果)19. （本小题满分13分）已知点其中是曲线上的两点 ， 两点在轴上的射影分别为点,且. （）当点的坐标为时 ， 求直线的斜率；（）记的面积为 ， 梯形的面积为 ， 求证：. 20.（本小题满分13分）已知集合,其中., 称为的第个坐标分量. 若 ， 且满足如下两条性质： 中元素个数不少于4个；， 存在 ， 使得的第个坐标分量都是1；则称为的一个好子集.（）若为的一个好子集 ， 且 ， 写出；（）若为的一个好子集 ， 求证：中元素个数不超过；（）若为的一个好子集且中恰好有个元素时 ， 求证：一定存在唯一一个 ， 使得中所有元素的第个坐标分量 。

6、都是1. 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科）2016.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数 ， 表示考生正确做到此步应得的累加分数 。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分 。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案ABDBCACC二、填空题（本大题共6小题,每小题5分 ， 共30分）91011.1213 14三、解答题(本大题共6小题,共80分)15解：（）因为所以 2分4分因为 ,所以 6分（）因为 9分令，所以,11分因为对称轴, 根据二次函数性质知 ， 当 时 ， 函数取得最大值13分16解: (I)型空调前三周的平均销售量台2分（）因为型空调平 。

7、均周销售量为台 ， 所以4分又化简得到5分因为 ， 所以当或时 ， 取得最小值所以当 或时 ， 取得最小值7分（）依题意 ， 随机变量的可能取值为 ， 8分, , , 11分随机变量的分布列为随机变量的期望.13分17解: （）证明：连结.在中 ， 因为分别是所在边的中点 ， 所以 ， 1分又, 所以, 2分所以是平行四边形 ， 所以,3分又平面 ， 平面, 4分所以平面. 5分（）证明：方法一：在平面内 ， 过点作的平行线 ， 因为所以平面,所以平面 ， 所以.又在中 ， 因为 ， 所以.以为原点 ， 分别为轴建立空间直角坐标系6分 所以7分所以 ， 8分所以 ， 所以. 9分方法二：取中点 ， 连接. 又为的中位线 ， 所以又 ， 所以 ， 所以在一个平面中. 6分因为是等边三角 。

8、形 ， 所以,又 ， 所以, 7分且 ， 所以平面 ， 8分而平面, 所以. 9分（）因为,所以, 即, 又, 所以平面 ， 所以就是平面的法向量. 11分又 ， 设与平面所成的角为 ， 则有13分所以与平面所成的角为.14分18解: （）函数的定义域为.当时 ， 2分当变化时 ， 的变化情况如下表：极大值极小值4分函数的单调递增区间为 ， 函数的单调递减区间为. 5分（）解：因为在区间上有解 ， 所以在区间上的最小值小于等于. 因为, 令,得. 6分当时 ， 即时 ， 因为对成立 ， 所以在上单调递增 ， 此时在上的最小值为所以 ， 解得 ， 所以此种情形不成立 ， 8分当 ， 即时 ， 若, 则对成立 ， 所以在上单调递增 ， 此时在上的最小值为所以 ， 解得 ， 所以 . 9分若 ，。

9、若 ， 则对成立 ， 对成立.则在上单调递减 ， 在上单调递增 ， 此时在上的最小值为所以有 ， 解得 ， 10分当时 ， 注意到,而 ， 此时结论成立. 11分综上 ， 的取值范围是. 12分法二：因为在区间上有解 ， 所以在区间上的最小值小于等于 ， 当时 ， 显然 ， 而成立 ， 8分当时,对成立 ， 所以在上单调递增 ， 此时在上的最小值为 ， 所以有 ， 解得 ， 所以.11分综上 ， .12分（）的取值范围是.14分19解：（）因为 ， 所以代入 ， 得到 ， 1分又 ， 所以 ， 所以 ， 2分代入 ， 得到 ， 3分所以. 5分（）法一：设直线的方程为.则7分由, 得,所以9分又,11分又注意到 ， 所以 ， 所以 ， 12分因为 ， 所以,所以.13分法二：设直线的方程为.由, 得,所以7分, 8分点 。

【北京市|北京市海淀区高三下学期期末练习（二模）理科数学试题及答案】10、到直线的距离为, 所以9分又, 11分又注意到 ， 所以 ， 所以 ， 12分因为 ， 所以,所以. 13分法三：直线的方程为 , 6分所以点到直线的距离为7分又, 8分所以又9分所以10分因为, 所以11分代入得到 ， 12分因为, 当且仅当时取等号 ， 所以. 13分20解：（）2分（）对于 ， 考虑元素 ， 显然 ， 对于任意的 ， 不可能都为1 ， 可得不可能都在好子集中4分又因为取定 ， 则一定存在且唯一 ， 而且 ， 且由的定义知道 ， 6分这样 ， 集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半 ， 而集合中元素个数为 ， 所以中元素个数不超过；8分（） ， 定义元素的乘积为： ， 显然. 我们证明:“对任意的 ， 都有.”假设存在, 使得 ， 则由（）知 ， 此时 ， 对于任意的 ， 不可能同时为, 矛盾 ， 所以. 因为中只有个元素 ， 我们记为中所有元素的乘积 ， 根据上面的结论 ， 我们知道 ， 显然这个元素的坐标分量不能都为 ， 不妨设,根据的定义 ， 可以知道中所有元素的坐标分量都为11分下面再证明的唯一性：若还有,即中所有元素的坐标分量都为, 所以此时集合中元素个数至多为个 ， 矛盾. 所以结论成立13分19 。

稿源：(未知)

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标题：北京市|北京市海淀区高三下学期期末练习（二模）理科数学试题及答案