1、虹口区2013年数学学科高考练习题(理科)（时间120分钟 ， 满分150分）2013.4一、填空题（每小题4分 ， 满分56分）1、函数在上单调递减 ， 则的取值范围是 2、已知复数 ， 则 3、已知 ， 则 4、设展开式中二项式系数之和为 ， 各项系数之和为 ， 则 5、已知双曲线与椭圆有相同的焦点 ， 且渐近线方程为 ， 则此双曲线方程为 6、如果 ， 则的最小值为 7、数列的通项 ， 前项和为 ， 则 8、设、是椭圆的两个焦点 ， 点在椭圆上 ， 且满足 ， 则的面积等于 9、从集合的所有非空子集中 ， 等可能地取出一个 ， 记取出的非空子集中元素个数为 ， 则的数学期望 10、对于 ， 不等式恒成立 ， 则实数的取值范围是 11、在中 ， 则面积等于 12、将边长为 。

【上海市|上海市虹口区高考二模理科数学试题及答案】2、2的正方形沿对角线折起 ， 以 ， 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 13、设 ， 称为整数的为“希望数” ， 则在内所有“希望数”的个数为 14、已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合 ， 如果对于定义域内的任意实数 ， 函数值均为正 ， 则实数的取值范围是 二、选择题（每小题5分 ， 满分20分）15、直线的倾斜角等于（ ）16、已知函数与直线相交 ， 若在轴右侧的交点自左向右依次记为 ， 则等于（ ）17、若 ， 如果有 ， 则值为（ ）0 118、正方体的棱上到异面直线 ， 的距离相等的点的个数为（ ）2 3 4 5 三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图 ， 平面 ， 矩形的边长 ， 为的中点（1）证明：；（2）如果 ， 求异面直线与 。

3、所成的角的大小20、（本题满分14分）在中 ， 角 ， 所对的边长分别为 ， 向量 ， 且（1）求角；（2）若 ， 求的面积的最大值21、（本题满分14分）已知复数 ， 其中 ， 是虚数单位 ， 且 ， （1）求数列 ， 的通项公式；（2）求和：；22、（本题满分16分）已知抛物线： ， 直线交此抛物线于不同的两个点、（1）当直线过点时 ， 证明为定值；（2）当时 ， 直线是否过定点？若过定点 ， 求出定点坐标；若不过定点 ， 请说明理由；（3）如果直线过点 ， 过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、设线段的中点为 ， 线段的中点为 ， 记线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点 ， 使得点到它们的距离相等？若存在 ， 求出这条直线和这个定点；若不存在 ， 请说明 。

4、理由23、（本题满分18分）定义域为的函数 ， 如果对于区间内的任意两个数、都有成立 ， 则称此函数在区间上是“凸函数”（1）判断函数在上是否是“凸函数” ， 并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数” ， 求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数” ， 在上任取 ，证明： 当（）时 ， 成立； 请再选一个与不同的且大于1的整数 ， 证明：也成立11 / 11虹口区2013年数学学科高考练习题答案（理）一、填空题（每小题4分 ， 满分56分）1、； 2、2； 3、； 4、； 5、； 6、1； 7、7； 8、1； 9、； 10、； 11、； 12、； 13、9； 14、或；二、选择题（每小题5分 ， 满分20分）15、；。

5、16、A； 17、； 18、；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）连 ， 由 ， 得 ， 同理 ， 由勾股定理逆定理得 ， 3分由平面 ， 得.由 ， 得平面6分（2）取的中点 ， 的中点 ， 连、 ，， 的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小8分由 ， 得 ， 异面直线与所成的角的大小为12分注：用向量解相应给分20、（14分）解：（1） ， 5分又 ， 7分（2） ， 即9分 ， 即 ， 当且仅当时等号成立12分 ， 当时 ， 14分21、（14分）解：（1） ， 由得 ， 3分数列是以1为首项公比为3的等比数列 ， 数列是以1为首项公差为2的等差数列 ， 6分（2）由（1）知 ， ,数列是以为首项 ， 公比为的等比数列9分当 ， 时 ， 当 ， 时 ， 又也满足上式14分22、（ 。

6、16分）解：（1）过点与抛物线有两个交点 ， 设 ， 由得 ， 4分（2）当直线的斜率存在时 ， 设 ， 其中（若时不合题意）由得 ， 从而6分从而 ， 得 ， 即 ， 即过定点8分当直线的斜率不存在 ， 设 ， 代入得 ， 从而 ， 即 ， 也过综上所述 ， 当时 ， 直线过定点10分（3）依题意直线的斜率存在且不为零 ， 由（1）得点的纵坐标为 ， 代入得 ， 即由于与互相垂直 ， 将点中的用代 ， 得12分设 ， 则消得14分由抛物线的定义知存在直线 ， 点 ， 点到它们的距离相等16分23、（18分）解：（1）设 ， 是上的任意两个数 ， 则函数在上是 “凸函数”4分（2）对于上的任意两个数 ， 均有成立 ， 即 ， 整理得7分若 ， 可以取任意值若 ， 得 ， 综上所述得10分（3）当时由已知得成立假设当时 ， 不等式成立即成立那么 ， 由 ， 得即时 ， 不等式也成立根据数学归纳法原理不等式得证15分比如证明不等式成立由知 ， 有成立 ， 从而得18分 。

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