【抽象|抽象函数的周期与对称轴】1、抽象函数的周期与对称轴一. 教学内容抽象函数的周期与对称轴二. 教学重、难点重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论 。
难点：结论的推导证明 ， 利用结论解决问题 。
三. 具体内容1. 若则的周期为T 。
2. 若则的周期为证：令 3. 则的周期证：令 令 由得： 4. 若则图象的对称轴为证：要证原结论成立 ， 只需证令代入则5. 若则的图象 ， 以为对称中心 。
证：方法一：要证原结论成立只需证令代入则方法二：设它的图象为C则P关于点的对称点 【典型例题】例1 对于 ， 有下列命题 。
（1）在同一坐标系下 ， 函数与的图象关于直线对称 。
（2）若且均成立 ， 则为偶函数 。
（3）若恒成立 ， 则为周期函数 。
（4）若为单调增函数 ， 则（且）也为 。

2、单调增函数 ， 其中正确的为？解：（2）（3）例2 若函数有求 。
解： ， 知的图象关于对称而的对称中心 则例3 设是定义在R上的函数 ， 均有当时 ， 求当时 ， 的解析式 。
解：由有得设则 时例4 已知是定义在R上的函数且满足 ， 当时有则（1）是周期函数且周期为2（2）当时 ， （3）其中正确的是？解：（1）（2）（3）例5 已知满足 ， 当时 ， 且 ， 若 ， 求、的大小关系？解：由已知得 ， 对称轴 也为一条对称轴 由，例6 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数 ， 若的最小正周期是 ， 且当时 ， 求的值 。
解：例7 设定义在R上 ， 有且当时 ， （1）求证：且当时 ， （2）求证：在R上递减 。
解：（1）在中 ， 令 ， 得 设 ， 则令 ， 代入条件式有而 （2 。

3、）设则 令 ， 则代入条件式得即 在R上递减【模拟试题】一. 选择1. 已知满足 ， 且是奇函数 ， 若则（ ）A. B. C. D. 2. 已知是定义在R上的偶函数 ， 且对任何实数均成立 ， 当时 ， 当时 ， （ ）A. B. C. D. 3. 若函数 ， 都有则等于（ ）A. 0 B. 3 C. D. 3或4. 函数是（ ）A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的奇函数5. 的图象关于y轴对称的充要条件是（ ）A. B. C. D. 6. 如果且则可以是（ ）A. B. C. D. 7. 为偶函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 8. 设是R上的奇函数 ， 当时 ， 则（ ）A. 0 。

4、.5 B. C. 1.5 D. 9. 设 ， 有那么（ ）A. B. C. D. 10. 定义在R上 ， 则与的图象关于（ ）A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称二. 填空1. 是R上的奇函数 ， 且 ， 则 。
2. 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是。
3. 为奇函数 ， 且当时 ， 则当时。
4. 偶函数的定义域为R ， 且在上是增函数 ， 则（1）（2）（3）（4）中正确的是。
三. 解答题1. 设是定义在R上的偶函数 ， 图象关于对称 ， 、都有且（1）求、（2）证明：是周期函数2. 如果函数的图象关于和都对称 ， 证明这个函数满足3. 已知对任意实数t都有 ， 比较与的大小 。
4. 定义在实数集上的函数 ， 对一切实数x都有成立 ， 若方程仅有101个不同实根 ， 求所有实根之和 。
【试题答案】一.1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B9. A 10. D二.1. 0 2. 3. 4.（2）三.1. 解：（1） 都有，（2）由已知关于对称 即 ， 又由是偶函数知 ，， 将上式中以代换得 是R上的周期函数 ， 且2是它的一个周期2. 证： 关于和对称，令 ， 则 即3. 解：由知抛物线的对称轴是1 而根据在上是增函数得即4. 解：设即 有 所有实根之和为注：一个结论：设 ， 都有且有k个实根 ， 则所有实根之和为 。

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标题：抽象|抽象函数的周期与对称轴