1、天津市南开中学2020-2021学年度高二数学上学期期中检测试题（含解析）一、选择：40分1. 已知直线在轴上的截距是 ， 在轴上的截距是 ， 则直线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线的截距式方程直接得出答案.【详解】直线在轴上的截距是 ， 在轴上的截距是所以直线的方程为 ， 即故选：A【点睛】本题考查直线的截距式方程 ， 属于基础题.2. 已知直线与直线互相平行 ， 则实数的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意利用两条直线平行的性质 ， 分类讨论 ， 求得结果【详解】解：当时 ， 直线：即 ， 直线：即 ， 满足当时 ， 直线与直线互相平行 ， 解得实数综上 ， 故选：【 。

2、点睛】本题主要考查两条直线平行的性质 ， 考查分类讨论思想 ， 属于基础题3. “”是“椭圆的离心率为”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】椭圆离心率为 ， 可得：时 ， 或时 ， 解得m即可判断出结论【详解】椭圆离心率为 ， 可得：时 ， ；时 ， 总之或“”是“椭圆离心率为”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、充分不必要条件的判定方法 ， 考查了推理能力与计算能力 ， 属于基础题4. 过点作圆的切线 ， 则切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断点在圆上 ， 可知点即是切点 ， 圆心与切点的连线与切线垂 。

3、直 ， 可得切线的斜率 ， 点斜式即可得切线方程.【详解】因为满足 ， 所以点在圆上 ， 点即是切点 ， 由知 ， 圆心为 ， 设 ， 圆心与切点的连线与切线垂直 ， 所以切线斜率为 ， 所以切线方程为：， 即 ， 故选：【点睛】本题主要考查了求解圆的切线方程 ， 涉及由圆的方程求圆心 ， 先判断点与圆的位置关系最关键 ， 属于基础题.5. 已知为椭圆上一点 ， 分别为的左、右焦点 ， 且 ， 若 ， 则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据焦点三角形（直角三角形）的已知角的正切可得斜边与两条直角边的比 ， 从而得到椭圆的离心率.【详解】设 ， 因为 ， 所以 ， 故故选：A【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算 ， 与焦点三角形有关的计算问题 ， 注意利用椭 。

4、圆的几何性质来处理 ， 本题属于基础题6. 在空间直角坐标系中 ， 四面体的顶点坐标分别是 ， .则点到面的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出平面的一个法向量 ， 再求出在方向上的投影的绝对值即可【详解】由题意,设平面的一个法向量为 ， 则 ， 取 ， 则 ， 即到平面的距离是故选：A.【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离设是平面的一个法向量 ， 是平面内任一点 ， 则到平面的距离是7. 已知圆平分圆的周长 ， 则a的值是（ ）A. 0B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题可知 ， 两圆的公共直线必过的圆心 ， 然后求出公共直线的方程 ， 列式计算即可得解.【详解】圆平分的周长 ， 所以两圆公共直线过的 。

5、圆心 ， 两圆方程相减 ， 可得两圆的公共直线 ， 将代入可得 ， 解得.故选：B.【点睛】两圆的公共弦方程过已知圆心是解题关键.8. 已知圆 ， 若直线上存在点 ， 使得过点的圆的两条切线互相垂直 ， 则实数的取值范围是（ ）A. 或B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用直线与圆的位置关系 ， 由于存在点使圆的两条切线垂直 ， 得到四边形为正方形 ， 进一步利用点到直线的距离公式求出的取值范围.【详解】解：设过点的圆的两条切线分别与圆相切于,因为过点的圆的两条切线互相垂直 ， 所以四边形为正方形 ， 此时正方形的对角线长为2 ， 所以只需圆心到直线的距离小于等于2 ， 即2 ，， 解得或 ， 故选：A【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的 。

6、应用 ， 点到直线的距离公式 ， 考查运算能力和转化能力 ， 属于中档题.二、填空题：24分9. 直线,当变动时,所有直线都通过定点______.【答案】(3,1)【解析】【分析】将直线方程变形为,得到,解出,即可得到定点坐标.【详解】由,得,对于任意,式子恒成立,则有,解出,故答案:(3,1).【点睛】本题考查直线过定点问题,直线一定过两直线的交点.10. 在正四面体中 ， 是上点 ， 且 ， 是的中点 ， 若 ， 则的值为__________【答案】【解析】【分析】根据向量的线性运算再结合空间向量的基本定理即可得到答案.【详解】如图所示：.由空间向量基本定理得： ， .故.故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算 ， 同 。

7、时考查空间向量的基本定理 ， 属于简单题.11. 若椭圆C：的右焦点为F ， 且与直线l：交于P ， Q两点 ， 则的周长为_______________.【答案】【解析】【分析】求出左焦点坐标 ， 利用直线经过椭圆的左焦点 ， 结合椭圆的定义求三角形的周长即可【详解】由题得椭圆的左焦点 ， 所以直线经过左焦点 ， 的周长 ， 故答案为：【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时 ， 如果遇到了焦半径 ， 要联想到圆锥曲线的定义 ， 利用定义优化解题.12. 设圆 ， 定点 ， 若圆O上存在两点到A的距离为2 ， 则r的取值范围是________【答案】【解析】【分析】将问题转化为以为圆心 ， 为半径的圆为圆与圆相交问题 ， 再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案. 。

8、【详解】解：根据题意设以为圆心 ， 为半径的圆为圆 ， 所以圆 ， 圆心为 ， 半径为 ， 则两圆圆心距为： ， 因为圆O上存在两点到A的距离为 ， 所以圆与圆相交 ， 所以 ， 解得：.所以r的取值范围是：.故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位置关系 ， 考查回归转化思想 ， 是中档题.13. 光线沿直线入射到直线 后反射 ， 则反射光线所在直线的方程为___________________.【答案】【解析】【分析】求得直线与直线的交点的坐标 ， 然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标 ， 进而可求得直线的方程 ， 即为反射光线所在直线的方程.【详解】联立 ， 解得 ， 则直线与直线的交点为.设直线上的点关于直线的对称点为 ， 线段的中点在直线上 ， 则 ， 整理得. 。

9、直线的斜率为 ， 直线与直线垂直 ， 则 ， 整理得.所以 ， 解得 ， 即点.所以 ， 反射光线所在直线的斜率为 ， 因此 ， 反射光线所在直线的方程为 ， 即.故答案为：.【点睛】运用点关于直线的对称点的坐标的求解是解题关键.14. 在直角坐标系中 ， 已知圆： ， 直线经过点 ， 若对任意的实数 ， 直线被圆截得弦长为定值 ， 则直线方程为______.【答案】【解析】【分析】先将圆的方程化为标准形式 ， 求出圆心和半径 ， 通过分析可以看出 ， 圆心在一条直线上 ， 若对于任意的实数 ， 直线被圆截得弦长为定值 ， 可得直线与圆心所在的直线平行 ， 即可得出结论.【详解】圆：化为标准形式可得： ， 所以圆心， 半径 ， 令， 可得， 所以圆心在上 ， 又因为直线经过点 ， 若对任意的 。

10、实数 ， 直线被圆截得弦长为定值 ， 所以直线与圆心所在的直线平行 ， 所以设直线的方程为： ， 将代入得： ， 所以则直线方程为：.故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的标准方程 ， 直线和圆的位置关系 ， 考查分析解决问题的能力 ， 属于基础题.三、解答题：36分15. 已知在四棱锥中 ， 底面是边长为的正方形 ， 是正三角形 ， CD平面PAD ， E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点（）求证：PO平面；（）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；（）线段上是否存在点 ， 使得直线与平面所成角为 ， 若存在 ， 求线段的长度；若不存在 ， 说明理由【答案】（）证明见解析 （）（）不存在 ， 见解析【解析】【分析】（）正三角形中 ， 由平面得到 ， 所以 。

11、得到面；（）以点为原点建立空间直角坐标系 ， 根据平面的法向量 ， 和平面的法向量 ， 从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值 ， 再得到所求的角；（）线段上存在满足题意的点 ， 直线与平面法向量的夹角为 ， 设 ， 利用向量的夹角公式 ， 得到关于的方程 ， 证明方程无解 ， 从而得到不存在满足要求的点.【详解】（）证明:因为是正三角形 ， 是的中点 ， 所以 .又因为平面 ， 平面 ， 所以. ， 平面 ， 所以面.（）如图 ， 以点为原点分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则 ， 设平面的法向量为所以 ， 即令 ， 则，又平面的法向量 ， 设平面与平面所成锐二面角为 ， 所以.所以平面与平面所成锐二面角. （）假设线段上存点 ， 使得直线与平面所成角为 ， 即直线与 。

12、平面法向量所成的角为 ， 设 ， 所以所以 ， 整理得 ， 方程无解 ， 所以 ， 不存在这样的点.【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定 ， 利用空间向量求二面角 ， 利用空间向量证明存在性问题.16. 已知椭圆C：（ab0) ，直线经过椭圆的上顶点和右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A ，B两点.若的面积为 ， 求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或或或.【解析】【分析】（1）由直线方程 ， 求出椭圆的上顶点和右焦点 ， 可得出、的值 ， 进而可求出椭圆的方程；（2）设直线的方程为 ， 设点、 ， 于是得出的面积为 ， 将直线的方程与椭圆的方程联立 ， 将韦达定理代入的面积表达式可求出的值 ， 从而可得出直线的方程【详解】（ 。

13、1）由 ， 令可得；令可得；因为直线经过椭圆的上顶点和右焦点 ， 所以半焦距为 ， 短半轴长为 ， 因此 ， 所以 ， 椭圆的方程为；（2）由（1）可得 ， 设过的直线方程为 ， 由消去 ， 整理得 ， 显然.设 ， 则 ， 从而.所以 ， 解得或所以直线的方程为或 ， 或.【点睛】思路点睛：求解椭圆中三角形（或四边形）面积相关问题时 ， 一般需要联立直线与椭圆方程 ， 结合韦达定理 ， 以及弦长公式等 ， 表示出三角形（或）四边形的面积 ， 结合题中条件列出方程求解即可.17. 在平面直角坐标系中 ， 已知以点（）为圆心的圆过原点O ， 不过圆心C的直线（）与圆C交于M ， N两点 ， 且点为线段的中点.（1）求m的值和圆C的方程；（2）若Q是直线上的动点 ， 直线 ， 分别切圆C于A ， B 。

14、两点 ， 求证：直线恒过定点；（3）若过点（）的直线L与圆C交于D ， E两点 ， 对于每一个确定的t ， 当的面积最大时 ， 记直线l的斜率的平方为u ， 试用含t的代数式表示u ， 并求u的最大值.【答案】（1） ， 圆C的方程为；（2）证明见解析；（3） ， 最大值为1.【解析】【分析】（1）由垂直于直线得出 ， 利用斜率公式可求出的值 ， 可得出圆的方程 ， 再将点的坐标代入直线的方程可求出的值；（2）设点 ， 可得出以为直径的圆的方程 ， 直线是以为直径的圆和圆的公共弦 ， 将两圆方程作差可得出直线的方程 ， 根据直线的方程得出该直线所过的定点；（3）设直线的方程为， 的面积为 ， 则 ， 当时 ， 取到最大值 ， 此时点到直线的距离为 ， 由点到直线的距离公式得出 。

【天津市南开中学2020?2021学年度高二数学上学期期中检测试题?含解析?|天津市南开中学2020?2021学年度高二数学上学期期中检测试题?含解析?】15、， 解得 ， 然后分类讨论即可求出答案【详解】（1）解：由题意 ， 即 ， 解得（）.圆心坐标为 ， 半径为1 ， 由圆心到直线的距离 ， 可得或 ， 点在直线上 ， .故 ， 圆C的方程为；（2）证明：设 ， 则的中点坐标为 ， 以为直径的圆的方程为 ， 即.联立 ， 可得所在直线方程为：.直线恒过定点；（3）解：由题意可设直线l的方程为 ， 的面积为S ， 则 ， 当最大时,S取得最大值.当时 ， 点C到直线l的距离等于 ， 即 ， 整理得： ， 解得.当时 ， 最大值是1 ， 此时 ， 即.当时 ， .是上的减函数 ， .当最小时 ， 最大.过C作于F ， 则 ， 当最大时 ， 最小. ， 且 ， 当最大时 ， 取得最大值 ， 即最大. ， 当时 ， 取得最大值.当三角形的面积最大时 ， 直线l的斜率 ， .综上所述 ， 当时 ， 时u取得最大值1；当时 ， .所以u的最大值是1.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系 ， 考查了点到直线距离公式的应用 ， 考查分类讨论数学思想 ， 在求解直线与圆的综合问题时 ， 应将问题转化为圆心到直线的距离 ， 结合图象进行求解 ， 考查分析问题和解决问题的能力 ， 属于难题 。

稿源：(未知)

【傻大方】网址：/a/2021/0812/0023646204.html

标题：天津市南开中学2020?2021学年度高二数学上学期期中检测试题?含解析?|天津市南开中学2020?2021学年度高二数学上学期期中检测试题?含解析?