1、微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数(一)向量及其线性运算1、向量 ， 向量相等 ， 单位向量 ， 零向量 ， 向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限 ， 向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a=(ax,ay,az) ， b = (bx,by ,bz) ，则 a - b = (a* - bx,ay - by,az - bz), a = ( a*, ay, az)；5、向量的模、方向角、投影：2 2 21) 向量的模：= a/x+ y+ z ；2) 两点间的距离公式：AB| = J(X2 - xj2 +(y2 - yj2 +忆-乙)23) 方向角： 。

2、非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 ：； ， 方向余弦:COS：cosy, cos7 =rcos2cos2cos2 = 15)投影：PJua = a cos ， 其中为向量a与U的夹角(二二)数量积 ， 向量积1、数量积：ab -a |bcos6 -亠21)a a =a2)a丄b二a b=0a b = axbx ayby azbz2、向量积：c = a b大小：a|bsin日方向：a,b,c符合右手规则1)a xa = 02)a /b 二a汉b=0 i jka汉b二axayazbxbybz运算律:反交换律b汉a =-a江b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S : f (x, y, zp 02、旋转曲面： 。

3、yoz 面上曲线 C : f (y, zp 0 ， 绕 y 轴旋转一周：f (y,- x2 z2)= oV22x+ y , z) = 03、柱面：F (x, y)=的柱面F (x, y)二0表示母线平行于z轴 ， 准线为 门I z = 04、二次曲面(不考)1）椭圆锥面:b2z22x2 ）椭球面：2a2 y b22Z2c2x旋转椭球面：a 22y2a2z2c2x+2y2z 13）单叶双曲面:2 ab22 c222xyz 14）双叶双曲面:2 ab22 c225）椭圆抛物面:x+2 ayb2二 z22xy6）双曲抛物面（马鞍面）: 2:ab2二 z22x+ -y17）椭圆柱面：2 ab222双曲柱面：x 。

4、y 18）2 ab229）抛物柱面：x ay（四）空间曲线及其方程般方程:F (x, y,z) = 0G (x, y, z) = 0x = x (t) x = a cos t2、 参数方程：y二y(t) ， 如螺旋线：y = asin tz = z (t)z 二 bt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y, z) = 0H (x, y)二 0 ， 消去z ， 得到曲线在面xoy上的投影cG(x, y, z) = 0z = 0(五)平面及其方程1、点法式方程：A(x - X 。
) B(y - y 。
) C(z - z 。
)= 0法向量：n = (A,B,C) ， 过点(X0,y,z)2、 一般式方程：Ax By。

5、C0截距式方程:3、两平面的夹角：ni=(A,Bi,CJ ， n (A2,B2,C2) ， cosAA2B1B2C1C2口彳丄口 c =1 2A| A?B1B2CC2 二 0/：1 2ABGA2B2C2J A2 Bj cj A； B； C4、点 P0(X0,y,Z0)到平面 Ax By Cz0 的距离:Axo By 。
Cz 。
D,A2 B2 C2（六）空间直线及其方程般式方程:A1x + B y + Cz += 0A2xB2y C2z D2 = 0x - X 。
y - y 。
z - z 。
2、对称式（点向式）方程：方向向量：s 二（m,n, p） ， 过点（X 。
， y 。
， z 。
）x = x 。
mt I3、参数式方程 。

6、：“ yo ntZ 二 z 。
pt4、两直线的夹角：Si = （5,山 ， pi） ， S2 = （m2,n2, P2） ， cos忸叫+叽+讪Jm： + n； + p：寸 mj + n； + p；J - L2 二m1m2mn2山 p2 = 。
m1R|p1m2 n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,sinAm + B n + Cp,A2 B2 C2 Jm2 n2 p2L 二= Am Bn Cp = 。
A _ B _ CL -m n p第二章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离 ， 邻域 ， 内点 ， 外点 ， 边界点 ， 聚点 ， 开集 ， 闭集 ， 连通集 ， 区域 ， 闭区域,有界集 ， 无界集 。
2、多元函数： z f（ 。

7、x, y） ， 图形：3、极限：（x,y!呢 o,yo）f（X ， 八 A4、连续：（x,y!irLy0）f（Xy）= f（X0 ， y0）5、偏导数：fx(Xo,y)limXrOf(x 。
X, y 。
)- f (Xo, y 。
)xfy(x,y 。
)limf（X 。
， y 。
y） - f （x 。
， y 。
）y6、方向导数:lfcos:y其中-为l的方向角7、 梯度：z 二 f (x,y) ， 则 gradf (x,y 。
)= fx(x,y)i fyyjjcz cz8、全微分：设 z=f(x,y) ， 则 dz二二 dx/dy（二）性质1、函数可微 ， 偏导连续 ， 偏导存在 ， 函数连续等概念之间的关系:函数连续2、闭区域上连续函数的性质(有界 。

8、性定理 ， 最大最小值定理 ， 介值定理)3、微分法1) 定义：2) 复合函数求导：链式法则若 z f (u,v),u 二 u(x, y),v 二 v(x, y) ， 则:z z ： u z : v z - z : u z v=+=+.x ： u x v x ： y ： u ： y ： v y3) 隐函数求导：两边求偏导 ， 然后解方程(组)(三)应用1、极值1)无条件极值：求函数z = f (x, y)的极值解方程组求出所有驻点 ， 对于每一个驻点(xo,yo) ， 令A=fxx(xo ， y 。
) ， fxy(xo,yo) ， C = fyy(xo,yo) ， 若AC - B2 o ， A o ， 函数有极小值 ， 若AC - B2 o ， A。

9、： o ， 函数有极大值； 若AC - B2： 0 ， 函数没有极值； 若AC - B2 = 0 ， 不定 。
2)条件极值：求函数z二f(x,y)在条件 ， (x,y) = 0下的极值令：L(x,y) = f(x,y) (x,y)Lagra nge 函数0解方程组 Ly = 0(x, y) =02、几何应用1) 曲线的切线与法平面x = x(t)曲线： |y = y(t) ， 则上一点M(X0,y,z)(对应参数为t)处的Z 二 z(t)x x 。
y - y 。
z- Z0切线方程为：x (t)y (t)z (t)法平面方程为：X (t)(x- x) y (t)(y - y) z (t)(z- z) = 02) 曲面的切 。

10、平面与法线曲面e : F (x, y, z) = 0 ， 则匕上一点M纸皿必)处的切平面方程为：Fx(x,y,Zo)(x-沧)Fy(Xo,y,z)(y - y) Fz(x, y,z0)(z- %)= 0口x-x 。
y-y 。
z-zo法线方程为：Fx(Xo ， y ， z)Fy(x0,y0,zc) Fz(x,y, zj第三章重积分(一) 二重积分(一般换元法不考)1、 定义：f（x,y）dD2、性质：（6条）Eof( k, k)_k3、几何意义：曲顶柱体的体积4、计算：D = (x,y)2（X）x空bf (x, y)dxdy 二Db 2(x)adx f(x,y)dyD = (x, y)i(y门c岂x 2(y)y 。

11、 - d1）直角坐标d 2( y)H f(x,y)dxdy= fc d (y) f (x,y)dxD12）极坐标D = ()2a 9 P jP爲但)f(x, y)dxdy=_ d=(力 f ( cos寸 F sin) dD1（二）三重积分n1、定义:2、性质:3、计算:f(x,y,z)dv = lim 。
、 f(, k, PVkk =11）直角坐标Z2(x,y)f (x, y,z)dv = JJDdxdyj ( )f(x,y,z)d z “先一后二”一：Dzi( x, y)b.f(x,y,z)dv二 dz f (x, y,z)dxdy “先二后一”i2adz2) 柱面坐标x = cos 丁(y。

12、= p sin 日 出 f (x, y, z)d v= J仃 f (p cos日 ， p sin日 ， z)PdPd日 dzz = z3) 球面坐标x = r sin cos =Iy = r sin sin 二Iz = r cos! f (x, y, z)d v =f (r sin cos , r sin sn , r cos )r2 sin drd(三) 应用曲面 S : z 二 f (x, y), (x, y) D 的面积：c z 2 c z 2A=1 ( )2 ( )2 dxdyD x ： y第五章 曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分n1、 定义：L f（x,y）dsJim/ f （门 J 。

13、 si =12、性质：1) Lf(X ， y)(x, y)ds 二:L f(x, y)ds ： Lg(x, y)ds.2) (x,y)ds=f(x,y)ds f (x, y)ds.( L L2)./ LL1L273)在 l 上 ， 若 f (x,yp g(x,y) ， 则 L f (x,y)d Lg(x,y)ds.4) Ld 1 ( I为曲线弧L的长度)3、计算：(x= (t),设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续 ， L的参数方程为：) ， ly(t),其中:(t)(t)在U / 上具有一阶连续导数 ， 且2(tK 2(tp 0 ， 贝Sl f(x,y)ds f (t)(t) J 2(t)2(t)dt ,(： )L: 。

14、(二) 对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧 ， 函数P(x, y) , Q(x, y)n在L上有界 ， 定义LP(x,y)dx7叮P( k, Q xk ,L九TU k=1nLQ(x,y)dy = limj Q(, k) Tk向量形式：l F d r = l P(x, y)dx Q(x, y)dy2、性质：用1_一表示L的反向弧,则L_F(x,y) drLF(x,y) dr3、计算：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续 ， L的参数方程为X =(t),(山从(t T p ) ， 其中珥t),屮(t)在2,0上具有一阶连续导数 ， 且 y= (t),2(tp 2(t 。

15、)7 ， 则P(x, y)dx Q(x, y)dy 二P (t), (t) (t) Q (t)(t) (t)dtL、 4、两类曲线积分之间的关系：X = (t)设平面有向曲线弧为 L：L上点(x, y)处的切向量的方向角为:iy 八(t)cos：ut) 2(t) 2(t) ， cos :X(t)J 2(t) 2(t) ， 则 l Pdx Qdy 二丄(P cos： Q cos )ds(三) 格林公式1、格林公式：设区域 D是由分段光滑正向曲线 L围成 ， 函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数 ， 则有Ddxdy 八 Pdx QdyL2、G为一个单连通区域 ， 函数P(x, y),Q(x, y)在g上 。

16、具有连续一阶偏导数 ， 则:Pk 二曲线积分J Pdx + Qdy在g内与路径无关 :yL-曲线积分口 Pdx Qdy二0L= P(x,y)dx Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分(四) 对面积的曲面积分 1、定义:设二为光滑曲面 ， 函数f(x,y,z)是定义在二上的一个有界函数 ， n定义 (x,y,z)dS = 1叫、f ( i , i, J -/ 50 i _12、计算：“ 一投二换三代入”z(x,y) , (x, y) Dxy ， 则/ 2 2(x,y,z)dS 二 fx,y,z(x,y) 1 Zx (x,y) Zy (x,y)dxdyDx y(五) 对坐标的曲面积分1、预备知识 。

17、：曲面的侧 ， 曲面在平面上的投影 ， 流量2、定义：设匕为有向光滑曲面 ， 函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)是定义在匕上的有界函数 ， n定义， R(x,y,z)dxdy = limj R( , i, J(-i=1n同理 仃 P(x,y,z)d ydz= IjmE P&i ,匚 i)(也 3人同理二i=1nQ(x, y,z)dzdx = limj R( i, i, i)( 人3、性质：1 ) 1 =2 ， 贝Sfdydz Qdzdx Rdxdy=T Pdydz Qdzdx Rdxdy = Pdydz Qdzdx Rdxdy1 -22)表示与二取相反侧的有向曲面 ， 贝Rdxd 。

18、yfdxdy4、计算：一一“ 一投二代三定号”一 z 二 z(x,y), (x,yk Dxy, z = z(x, y)在 Dxy 上具有一阶连续偏导数 ， R(x, y,z)在二上连续 ， 则.RgyVdxdy .DRx,y,z(x, y)dxdy 匸为上侧取为下侧取5、两类曲面积分之间的关系: Pdydz Qdzdx Rdxdy I I j Pcos： Qcos Rcos dS其中:,为有向曲面匕在点(x,y,z)处的法向量的方向角 。
(六) 高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面z所围成 ， z的方向取外侧 ， 函 数P, Q, R在门上有连续的一阶偏导数 ， 则有或 -:P :Q R+err x 。

19、 ： y zdxdydzi.Pdydz Qdzdx Rdxd y-P i xRz丿dxd ydz 二 Pcos:Qcos： Rcos dS(七) 斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面匕的边界-是分段光滑曲线 ， 匕的侧与】的正向符合右手法则,P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含在内的一个空间域内具有连续 一阶偏导数 ， 则有、门z丿dydz +p dR czQX 丿dzdx +I Exdxdy=q Pdx + Qdy+Rdz 曲)厂d zd xdxd y=qPdx+ Qdy + RdzdydzQR为便于记忆 ， 斯托克斯公式还可写作d yd z:x P第六章常微分方程1、 。

20、微分方程的基本概念含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程 ， 称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程 ， 称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数 ， 称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数 ， 称为微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常数 ， 且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的 个数与微分方程的阶数相同 ， 这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g(y)d y = f(x)dx或/ =h(x)g(y)对于第1种形式 ， 运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：g(y)dy 二 f 。

21、(x)dx2、齐次微分方程：、二(_)或者x J (仝)xy在齐次方程 y仝心)中 ， 令u二可将其化为可分离方程x * x人 y dydu令u ， 贝V y =xu,x u,xdxdx代入微分方程即可 。
(1)形如y = f (ax by c)的方程.二 f (u).令u = ax by c,则u = a by ,原方程可化为 形如y =f(aix by G)的方程.a2x +b2y可通过坐标平移去掉常数项 。
3、一阶线性微分方程型如y ， p(x)y=q(x)称为一阶线性微分方程 。
.p(x)dx 其对应的齐次线性微分方程的解为y=Ce 。
利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解-p(x)dxp(x)d 。

22、xy =e ( q(x)e dx C ) 。
4、伯努利方程：y p(x)y=q(x)yn (n =0,1)将方程两端同除以yn,得二yy p(x)y1jn =q(x) (n = 0,1) 令“y1 ， 则叫=(i_n)y ， y乜二丄史 ，于是U的通解为:Xdx dx Zdx-(1)p(x)dx(1)p(x)dxu =e( (1_n)q(x)eC) 。
5、全微分方程:7、可降阶的高阶常微分方程(1) | y(Qf(x)型的微分方程(2) (nf (x, y(n)型的微分方程(3)Mf(y,y|)型的微分方程8、线性微分方程解的结构(1 )函数组的线性无关和线性相关(2) 线性微分方程的性质和解的结构叠加原 。

23、理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解-p(x)dx.e (3) 刘维尔公式y2(x)叮1(x)厂 dxy1(4) 二阶非齐线性微分方程解的结构y二(x) y*(x)特解的求解过程主要是通过常数变异法 ， 求解联立方程的解：G(x)y1(x)(2(x)y2(x) =0 ， G(x)y；(x)(2(x)y2(x)二 f (x) 。
y*(x)二 G(x)%(x) C2(x)y2(x)9、二阶常系数线性微分方程(1)齐次线性微分方程的通解特征方程:2丸+扎 p +q =0 。
1)特征方程有两个不同的实根、=J ， 贝U % =e1X,y2 =e ， 2X其通解为：y =Cy + 。

【微积分|微积分的下册的知识点】24、C2y2 =GeAx +c2e 护 。
i122)特征方程有实重根 人=篠 ， 贝U血2 = _PrP _4q =-卫,2 2此时 ， ye1X是方程(1)的一个解 。
再利用刘维尔公式求出 另外一个线性无关的解 即可3)特征方程有一对共轭复根、= i :,， 2 =- i : ， 贝卩y =0%+C2y2 =Ge(crlx+c2e(ct_L0x 。
或y = e*(G cosR x + C2 sinBx) 。
(2 )二阶常系数非齐线性微分方程的特解1. f (x) =e：xPn(x)的情形若a不是其特征方程的特征根 ， 则y* =eQn(x) 。
若a是其特征方程的单特征根 ， 则y*=xexQn(x) 。
若a是其特征方程的K重特征根 ， 则厂xk e xQn (x) 。
2. f (x)二e xR(x)cos x Pn(x)sin x的情形 ， 当工士 E：i不是特征根时 ， 方程的 特解可设为y = xeQmgcos * Qm2)(x)sin ：x;
当:；二l-i是特征根时 ， 方程的特 解可设为 y = xexQmm)(x)cos x Qm2)(x)sin x;
。

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