1、1 第十章第十章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路 v101 互感互感 v102 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算 v103 耦合电感功率耦合电感功率 v104 变压器原理变压器原理 v105 理想变压器理想变压器 2 学习要点学习要点 熟练掌握互感的概念；熟练掌握互感的概念； 具有耦合电感电路的计算方法：具有耦合电感电路的计算方法： 直接列写方程的支路法或回路法 。
直接列写方程的支路法或回路法 。
受控源替代法 。
受控源替代法 。
互感消去法 。
互感消去法 。
掌握空心变压器和理想变压器的应用 。
掌握空心变压器和理想变压器的应用 。
3 重点重点 互感和互感电压的概念及同名端的含义；互感和互 。

2、感电压的概念及同名端的含义； 含有互感电路的计算；含有互感电路的计算； 空心变压器和理想变压器的电路模型 。
空心变压器和理想变压器的电路模型 。
耦合电感的同名端及互感电压极性的确定；耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； 含有耦合电感的电路的方程含有耦合电感的电路的方程 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析 。
含有空心变压器和理想变压器的电路的分析 。
难点难点 本章与其它章节的联系本章与其它章节的联系 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上 。
本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上 。
4 耦合电感元件属于多端元件 ， 在实际电路中：耦合电感元件属于多端元件 ， 在实际电路中： 收音机、电视机中的中 。

3、周线圈收音机、电视机中的中周线圈(中频变压器中频变压器)、 振荡线圈；振荡线圈； 整流电源里使用的电源变压器；整流电源里使用的电源变压器； 它们都是耦合电感元件 ， 熟悉这类多端元件的它们都是耦合电感元件 ， 熟悉这类多端元件的 特性 ， 掌握包含这类多端元件的电路问题的分特性 ， 掌握包含这类多端元件的电路问题的分 析方法非常必要 。
析方法非常必要 。
电力变压器等；电力变压器等； 用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源 的降压、增流或升压隔离的中频变压器；的降压、增流或升压隔离的中频变压器； 5 中周线圈中周线圈(中频变压器中频变压器)、振荡线圈、振荡线圈 6 10k 。

4、VA300kVA的的 大功率单相、三大功率单相、三 相电源变压器 。
相电源变压器 。
焊接设备使用焊接设备使用 的主变压器、的主变压器、 控制变压器 。
控制变压器 。
7 Power Transformer Telecom Transformer Audio Transformer 8 9 10-1 互感互感 1. 互感的概念互感的概念 F一个电感线圈的情况一个电感线圈的情况 以上是熟悉的情况 。
以上是熟悉的情况 。
L1N1 11 i1 F F11 i1产生的磁通为产生的磁通为F F11 。
i1与与F F11的参考方向符的参考方向符 合右手螺旋法则 ， 为合右手螺旋法则 ， 为 关联关联的参考方向 。
的参考方向 。
。

5、 F F11穿越自身线圈时 ， 穿越自身线圈时 ，产生的产生的自感磁通链自感磁通链用用 Y Y11表示：表示：Y11= L1i1 当当i1变化时 ， 将产生变化时 ， 将产生 自感电压自感电压u11 。
-+ u11 若若u11与与i1取关联参考方向取关联参考方向 则则u11= dt dY11 = L1 dt di1 10 若若L1邻近有一线圈邻近有一线圈L2 ，载流线圈之间通过彼此载流线圈之间通过彼此 的磁场相互联系的物理的磁场相互联系的物理 现象称为现象称为磁耦合磁耦合 。
耦合线圈中的总磁通链耦合线圈中的总磁通链 应该是自感磁通链和互应该是自感磁通链和互 感磁通链的代数和：感磁通链的代数和： Y Y1= 。

6、Y Y11Y Y12 Y Y2=Y Y22Y Y21 L1N1 11 i1 F F11 L2N2 22 则则F F11的的 F F21 F F21称为称为互感磁通互感磁通 。
磁通链为磁通链为Y Y21 。
同理：同理： i2通过通过L2时也产生时也产生 磁通磁通F F22，i2 F F22 F F12 F F22的一的一 部分部分F F12也穿过也穿过L2 。
F两个线圈的情况两个线圈的情况 一部分会穿过一部分会穿过L2 。
11 2. 互感系数互感系数 F存在磁耦合的两 个线圈 ， 当一个 线圈的磁通发生 变化时 ， 就会在 另一个线圈上产 生感应电压 ， 称 为互感电压 。
vY Y11= =L1i1 ，。

7、Y Y22= =L2 i2 ，vY Y12= =M12i2 ， Y Y21= =M21 i1 vM12 和和M21 称称互感系数 。
互感系数 。
v简称简称互感 ， 单位是互感 ， 单位是 H 。
不管是自感磁通不管是自感磁通 链 ， 还是互感磁链 ， 还是互感磁 通链 ， 都与它的通链 ， 都与它的 施感电流施感电流成正比：成正比： 这就是这就是互感互感现象 。
现象 。
L1N1 11 i1 F F11 L2N2 22 F F21 i2 F F22 F F12 12 自感系数自感系数 L 总为正值 ， 互感系数总为正值 ， 互感系数 M 值有正有负 。
值有正有负 。
L1N1 11 i1 F F11 L2N2 22 F F21 i2 F F 。

8、22 F F12 磁通链可表示为：磁通链可表示为： M12 = M21 =M M值与线圈的形状、值与线圈的形状、 几何位置、空间媒几何位置、空间媒 质有关 ， 与线圈中质有关 ， 与线圈中 的电流无关 ， 因此的电流无关 ， 因此 满足：满足： 正值表示自感磁链与互感磁链方向一致 ， 互感起正值表示自感磁链与互感磁链方向一致 ， 互感起 增助作用 ， 负值表示自感磁链与互感磁链方向相增助作用 ， 负值表示自感磁链与互感磁链方向相 反 ， 互感起削弱作用 。
反 ， 互感起削弱作用 。
Y Y1 = = L1i1Mi2 Y Y2 = = L2i2Mi1 13 L1N1 11 i1 F F11 L2N2 22 F F21 i2 F F22 F 。

9、 F12 3. 同名端的概念及其判断方法！同名端的概念及其判断方法！ s通过线圈的绕向、通过线圈的绕向、 位置和施感电流的位置和施感电流的 参考方向 ， 用右手参考方向 ， 用右手 螺旋法则 ， 就可以螺旋法则 ， 就可以 判定互感是判定互感是“增助增助” 还是还是“削弱削弱”。
s但实际的互感线圈但实际的互感线圈 往往是封闭的 ， 看往往是封闭的 ， 看 不出绕向；不出绕向； s在电路图中也无在电路图中也无 法反映绕向 。
法反映绕向 。
L1 L2 + - + - u1u2 i1i2 1 1 2 2 M 14 常用同名端表明互感线圈之间的绕向关系 。
常用同名端表明互感线圈之间的绕向关系 。
电流分别通入互感电流分别通入互 。

10、感 线圈时 ， 使磁场相线圈时 ， 使磁场相 互增强的一对端点互增强的一对端点 称同名端称同名端。
无标记的另一对端无标记的另一对端 点也是同名端 。
点也是同名端 。
L1 L2 + - + - u1u2 i1i2 1 1 2 2 M L1N1 11 i1 F F11 L2N2 22 F F21 i2 F F22 F F12 用用 “” 或或 “*” 或或 “”等标记 。
等标记 。
15 判别方法之一判别方法之一 1 、2 是同名端 1、2 也是同名端 1 1 2 2 L1L2 i1 i2 M L1 L2 + - + - u1u2 i1i2 1 1 2 2 若能看出绕向 ， 则若能看出绕向 ， 则 根据线圈电流和磁 。

11、根据线圈电流和磁 通方向判定 。
通方向判定 。
两个线圈分别施加两个线圈分别施加 电流电流 i1、i2 (均均0) ，若产生的磁通方向若产生的磁通方向 相同 ， 则相同 ， 则i1、i2的流的流 入端为同名端 。
入端为同名端 。
16 两个线圈分别施加电流两个线圈分别施加电流 i1、i2 (均均0) ，若产生的磁通方向相若产生的磁通方向相 同 ， 则同 ， 则i1、i2的的 流入端为同名端 。
流入端为同名端 。
当有两个以上的电感彼此耦合时 ， 同当有两个以上的电感彼此耦合时 ， 同 名端要用不同的符号一对一对标记 。
名端要用不同的符号一对一对标记 。
1 1 2 2 L1 L2 i1 i2 i1i2 M L1 L2 + - + - 。

12、 u1u2 1 1 2 2 L1L2 L3 MM * M 知道了同名端 ， 在列写耦合线圈的知道了同名端 ， 在列写耦合线圈的VCR时 ， 时 ，就不必关心线圈的具体绕向了 。
就不必关心线圈的具体绕向了 。
17 4. 互感电压互感电压 若两耦合电感线圈的若两耦合电感线圈的电压、电流都取关电压、电流都取关 联的参考方向联的参考方向 ， 则当电流变化时有： ， 则当电流变化时有： F同名端与互感电压的参考极性同名端与互感电压的参考极性 若若i1从从L1的同名端流入 ， 则的同名端流入 ， 则i1在在L2中引起的互中引起的互 感电压参考感电压参考 “+”极在极在L2的同名端 。
的同名端 。
u1 = dt dY1 = L1 dt d 。

13、i1 M dt di2 u2 = dt dY2 = L2 dt di2 M dt di1 M L1 L2 + - + - u1u2 i1i2 1 1 2 2 + + + + 同样 ， 若同样 ， 若i2从从L2的同名端流入 ， 则的同名端流入 ， 则i2在在L1中引起中引起 的互感电压参考的互感电压参考 “+”极在极在L1的同名端 。
的同名端 。
18 练习：列出耦合电感的练习：列出耦合电感的VCR 若施感电流为同若施感电流为同 频率正弦量 ， 则频率正弦量 ， 则 耦合电感耦合电感VCR的的 相量形式为：相量形式为： L1 +- u1 i1 +- u2 i2 M L2 u1 = L1 dt di1 - M dt di2 。

14、 u2 = L2 dt di2 - M dt di1 . U1= jwL1 . I1- jwM . I2 . U2= jwL2 . I2- jwM . I1 相量形式：相量形式： L1 +- u1 i1 +-u2 i2 M L2 u1 = L1 dt di1 + M dt di2 u2 = = - L2 dt di2 - M dt di1 . U1= jwL1 . I1+ jwM . I2 . U2= = - jwM .I1- jwL2 . I2 19 F同名端的判别在实践中占据重要地位 。
同名端的判别在实践中占据重要地位 。
正确连接：无论串还是并 ， 正确连接：无论串还是并 ，互感应起互感应起“增 。

15、助增助”作用 。
作用 。
L1L2 1 2 4 Tr L3 110V 110V 3 L1 2接接3 (串联串联)后 ， 可将后 ， 可将1、4 接在接在 220V的电源上使用 。
的电源上使用 。
1接接3、2接接4(并联并联)后 ， 可用在后 ， 可用在110V的电源上 。
的电源上 。
而在含有互感线圈而在含有互感线圈(变压器耦合变压器耦合)的振荡电路中 ， 的振荡电路中 ，若搞错同名端 ， 则电路不起振 。
若搞错同名端 ， 则电路不起振 。
例如：需要顺向串联的两个互例如：需要顺向串联的两个互 感线圈 ， 若错接成反向串联 ， 感线圈 ， 若错接成反向串联 ，则使输入阻抗减小 ， 导致电流则使输入阻抗减小 ， 导致电流 增大 ， 可能会烧坏线圈 。
增大 ， 可能会 。

16、烧坏线圈 。
20 同名端的判别法之二：实验法同名端的判别法之二：实验法 直流电压 表的正极 直流电压 表的负极 M L1L2 1 2 3 4 + - u1 i1 US S + - u2 接线图接线图 依据：同依据：同 名端的互名端的互 感电压极感电压极 性相同 。
性相同 。
mV + - 设设1、3是同名端是同名端 u2 = M dt di1 则则 S闭合后闭合后 ，dt di1 0 故故 u2 0 说明说明 u2的实际极性与参的实际极性与参 考极性相同 。
考极性相同 。
S闭合瞬间 ， 若表针顺时闭合瞬间 ， 若表针顺时 针偏转 ， 则假设正确 。
针偏转 ， 则假设正确 。
否则 ， 否则 ，1、4是同名端 。
是同名端 。
因 。

17、此因此 21 5. 耦合因数耦合因数 k v一般情况下 ， 一个线圈中的电流一般情况下 ， 一个线圈中的电流 所产生的磁通只有一部分与邻近所产生的磁通只有一部分与邻近 线圈交链 ， 另一部分称为漏磁通 。
线圈交链 ， 另一部分称为漏磁通 。
v漏磁通越少 ， 互感线圈之间的耦漏磁通越少 ， 互感线圈之间的耦 合程度越紧密 。
合程度越紧密 。
工程上常用耦合工程上常用耦合 因数因数k表示其紧密程度：表示其紧密程度： 1 1 2 2 L1 L2 i1 F21 漏 磁 通 F1s F11 =F21+F1s k del Y12 Y11 Y21 Y22 代入代入Y Y11= =L1i1 ， Y Y22= =L2 i2 k = L1 L2 M 。

18、 10 k 的大小与两线圈的的大小与两线圈的 结构、相对位置和周结构、相对位置和周 围的磁介质有关 。
围的磁介质有关 。
k= =1为紧耦合 。
为紧耦合 。
Y Y12= =Mi2 ， Y Y21= =M i1 得得 22 10-2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算 方法方法1：直接列写方程法：直接列写方程法 与一般电路相比 ， 在列写互感电路方程时 ， 必须与一般电路相比 ， 在列写互感电路方程时 ， 必须 考虑互感电压 ， 并注意极性 。
考虑互感电压 ， 并注意极性 。
对互感电路的正弦稳态分析 ， 用相量形式 。
对互感电路的正弦稳态分析 ， 用相量形式 。
方法方法2：互感消去法：互感消去法(去耦等效法去耦等效法) 通过列写、 。

19、变换互感电路的通过列写、变换互感电路的VCR方程 ， 可以得到一方程 ， 可以得到一 个无感等效电路 。
个无感等效电路 。
分析计算时 ， 用无感等效电路替代互感电路即可 。
分析计算时 ， 用无感等效电路替代互感电路即可 。
23 方法方法3：受控源替代法：受控源替代法 J 重复前面的话：重复前面的话： 若若 i2从从L2的同名端流的同名端流 互感电压 ， 互感电压 ，控制量为相邻电感的控制量为相邻电感的 同名端确定 。
同名端确定 。
11 L1 +-u1 i1 M 22 L2 +-u2 i2 . U2 . I2 jwL1 jwM . I1 . I2 11 +- jwL2 jwM . I1 22 +- . U1 可以可以用相 。

20、量形式的用相量形式的CCVS 替代互感电压替代互感电压 ， 从而将互 ， 从而将互 感电压明确地画在电路中 。
感电压明确地画在电路中 。
施感电流 。
施感电流 。
被控量为被控量为 极性根据极性根据 若若 i1从从L1的同名端流的同名端流 入 ， 则入 ， 则 i1在在L2中引起中引起 的互感电压参考的互感电压参考 “+” 极在极在L2的同名端的同名端 。
的互感电压参考的互感电压参考 “+”极在极在L1的同名端的同名端 。
+-+- 入 ， 则入 ， 则 i2在在L1中引起中引起 24 1. 耦合电感的串联耦合电感的串联 (1) L1、L2 反向反向串联时 ， 串联时 ，无感等效电路如下无感等效电路如下 u1 = R1i + L1。

21、dt di - M dt di = R1i+ (L1- M) dt di u2= R2i + L2 dt di - M dt di = R2i + (L2- M) dt di 互感起互感起“削弱削弱”作作 用 。
用 。
由由KVL(注意互感注意互感)得：得： L1 +- u i + + - - u2 M L2 R1 R2 u1 + - L1-M +- u i + - u2 L2-M R1 u1+ - R2 25 相量形式：相量形式： . U1= R1 . I + jw (L1- M) . I = Z1 . I . U = . U1 + . U2= (Z1+ Z2) . I = Z . I u1=。

22、R1i + (L1- M) dt di u2= R2i + (L2- M) dt di 式中式中 Z1 = R1+ jw w (L1- M) . U2= R2 . I + jw (L2- M) . I = Z2 . I 式中式中 Z2 = R2+ jw w (L2- M) Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw w (L1 + L2-2M) 由由KVL： jw (L1-M) +-+ - R1 R2 + - . U . U1 . U2 . I jw (L2-M) 26 互感的互感的“削弱削弱”作用类作用类 似于似于“容性容性”效应 。
效应 。
由于耦合因数由于耦合因数k1 ， 所 ， 所 以以 。

23、 (L1+ L2-2M)0 。
电电 路仍呈感性 。
路仍呈感性 。
Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + + jw w (L1 + L2-2M) 可见 ， 当反向串联时 ， 由可见 ， 当反向串联时 ， 由 于互感的于互感的“削弱削弱”作用 ， 作用 ，使每一条耦合电感支路阻使每一条耦合电感支路阻 抗抗(Z1、Z2 ) 和输入阻抗和输入阻抗 Z 都比无互感时小 。
都比无互感时小 。
(L1-M)和和(L2-M)有可有可 能一个为负 ， 但不能一个为负 ， 但不 会都为负 。
会都为负 。
J 友情提示：友情提示： jw (L1-M) +-+ - R1 R2 + - . U . U1 . U2 . I jw (L2-M) 27 ( 。

24、2) 顺向串联顺向串联 用同样的方法可得出：用同样的方法可得出： Z1 = R1+ jw w (L1+M) Z2 = R2+ jw w (L2+M) F综上：两个串联的耦综上：两个串联的耦 合电感可以用一个等合电感可以用一个等 效电感效电感L来替代：来替代： Z = (R1+ R2) +jw(L1+L2+2M) 去耦等效电路为去耦等效电路为 jwL1 +-+ - jwM R1 R2 + - . I . U . U1 . U2 jwL2 jw(L1+M) +-+ - R1 R2 + - . U . U1 . U2 . I jw(L2+M) L = L1+ L22M 顺顺接取接取“+ +” ， 反接取 。

25、 ， 反接取“- -” 。
28 解题指导：电路如图 ， 解题指导：电路如图 ，L1=0.01H ， L2=0.02H R1=R2=10W ， C=20m mF ，M=0.01H ，U=6V 。
L1 +-+- L2 R1R2 + - . U . I . U1 . U2 C M w =1000rad/s 等效复阻抗为：等效复阻抗为： Z=(R1+R2)+jw(L1+L2-2M ) - wC 1 求求 I、U1、U2 。
. 解：耦合线圈解：耦合线圈 为反向串联为反向串联 L1改为改为L1- -M L2改为改为L2- -M L1-M +-+- L2-MR1R2 + - . U . I . U1 . U2 C w =1 。

26、000rad/s 去耦等效电路如图 。
去耦等效电路如图 。
代入数据求得：代入数据求得： Z=20-j40 = 44.7 -63.4o W 29 . U1= R1+jw(L1-M ) . I = = 1.34 63.4o V 可进一步分析功率、串联谐振等问题 。
可进一步分析功率、串联谐振等问题 。
L1 +-+- L2 R1R2 + - . U . I . U1 . U2 C M w =1000rad/s Z=20-j40 = 44.7 -63.4o W 设设 . U = 6 0o V 则：则： . I = Z . U = 6 0o 44.7 -63.4o = 0.134 63.4o A L1-M + 。

27、-+- L2-MR1R2 + - . U . I . U1 . U2 C w =1000rad/s . U2= R2+jw(L2-M ) . I = = 1.90 108.4o V 30 2. 耦合电感的并联耦合电感的并联 jwL2jwL1 . U . I1 . I2+ - . I3 jwM . U = j wL1 . I1+ jwM . I2 . U+ jwL2 . I2= jwM . I1 . I3 = . I1 + . I2 . U . I1 = jwL1+ jwM . I3 - . I1() = jw(L1-M) . I1+ jwM . I3 (1)同侧并联同侧并联 同名端接在同一结点 。

28、上 。
同名端接在同一结点上 。
把把(3)代入代入(1)得得 (1) (2) (3) 把把(3)代入代入(2)得得 . U = jwM . I3 - . I2() . I2 + jwL2 = jwM . I3 + jw(L2-M) . I2 31 . I3 jwM . I1 jw(L1-M) + - . U . I2 jw(L2-M) 1 jwL2jwL1 . U . I1 . I2+ - . I3 jwM . U = jw(L1-M) . I1+ jwM . I3 . U = jwM . I3 + jw(L2-M) . I2 由以上两个方程得到由以上两个方程得到 (2) 异侧并联异侧并联 去耦等 。

29、效电路的去耦等效电路的 推演过程从略 。
推演过程从略 。
jwL2jwL1 . U . I1 . I2+ - . I3 jwM 异名端连接在同一个结点上 。
异名端连接在同一个结点上 。
32 对去耦方法归纳如下：对去耦方法归纳如下： 使用条使用条 件：两件：两 个耦合个耦合 电感必电感必 须有一须有一 侧联在侧联在 一起 ， 一起 ，或经电或经电 阻联在阻联在 一起 。
一起 。
L2L1 M 3 12 * * L2-ML1-M M 3 12 同正异负同正异负 L2L1 M 3 12 R1R2 L2+ML1+M -M 3 12 R1R2 同减异加 另一侧可任意联接 。
另一侧可任意联接 。
33 例：求图示电路的开路 。

30、电压 。
例：求图示电路的开路电压 。
解法解法1：列方程求解 。
：列方程求解 。
由于由于L2中无电流 ， 故中无电流 ， 故 L1与与L3为反向串联 。
为反向串联 。
所以电流所以电流 . US . I1= R + jw(L1+ L3 -2M31) . UOC =jwM12 . I1- jwM23 . I1- jwM31 . I1+ jwL3 . I1 开路电压为开路电压为(注意互感电压注意互感电压) 将电流表达式代入得将电流表达式代入得 . UOC = R + jw(L1+ L3 -2M31) jw(M12-M23-M31+L3) . US L2L1 M12 +* * - . Uoc + - . US . I 。

31、1 L3 M31 M23 R 34 例：求图示电路的开路电压 。
例：求图示电路的开路电压 。
解法解法2：互感消法 。
：互感消法 。
作去耦等效电路 ， 一作去耦等效电路 ， 一 对一对地消去互感 。
对一对地消去互感 。
L2L1 M12 +* * - . Uoc + - . US . I1 L3 M31 M23 R L1-M12 +* * - . Uoc + - . US . I1 L3+M12 M31M23 R L2-M12 L1-M12 + - . Uoc + - . US . I1 L3+M12 M31 R L2-M12+M23-M23 -M23 35 例：求图示电路的开路电压 。
例：求图示电路的开路电压 。
。

32、 解法解法2：互感消法 。
：互感消法 。
作去耦等效电路 ， 一作去耦等效电路 ， 一 对一对地消去互感 。
对一对地消去互感 。
L2L1 M12 +* * - . Uoc + - . US . I1 L3 M31 M23 R L1-M12 + - . Uoc + - . US . I1 L3+M12 M31 R L2-M12+M23-M23 -M23 L1-M12+M23 + - . Uoc + - . US . I1 L3+M12-M23 R L2-M12-M23-M31 -M31 +M31 36 由无互感电路得开路电压由无互感电路得开路电压 . UOC = R + jw(L1+ L3 -2M31) jw 。

33、(L3+M12-M23-M31) . US L1-M12+M23 + - . Uoc + - . US . I1 L3+M12-M23 R L2-M12-M23-M31 -M31 +M31 例：求图示电路的开路电压 。
例：求图示电路的开路电压 。
解法解法2：互感消法 。
：互感消法 。
L2L1 M12 +* * - . Uoc + - . US . I1 L3 M31 M23 R 37 10-3 耦合电感的功率耦合电感的功率 在含有耦合电感的电路中 ， 两个耦合的电感之在含有耦合电感的电路中 ， 两个耦合的电感之 间无功功率相等 ， 有功功率或者均为零 ， 或者间无功功率相等 ， 有功功率或者均为零 ， 或者 通过磁耦合等 。

34、量地进行传输 ， 彼此平衡 。
通过磁耦合等量地进行传输 ， 彼此平衡 。
电源提供的有功功率 ， 在通过耦合电感的电磁电源提供的有功功率 ， 在通过耦合电感的电磁 场传递过程中 ， 全部消耗在电路中所有的电阻场传递过程中 ， 全部消耗在电路中所有的电阻 (包括耦合电感线圈自身电阻包括耦合电感线圈自身电阻)上 。
上 。
互感互感M是一个非耗能的储能参数 ， 兼有是一个非耗能的储能参数 ， 兼有L和和C的的 特性：特性： 同向耦合时 ， 储能特性与电感相同 ， 使同向耦合时 ， 储能特性与电感相同 ， 使 L中磁能增加；中磁能增加； 反向耦合时 ， 储能特性与电容反向耦合时 ， 储能特性与电容 相同 ， 与相同 ， 与L中的磁能互补中的磁能互补(容性效应容性效应) 。
。

35、38 例例10-6：R1=3W ，R2=5W ，w wL1=7.5W W ， w wL2= =12.5W W ，w wM=8W W ， US=50V 。
求 。
求电路电路 的复功率 ， 并的复功率 ， 并说明互感在功说明互感在功 率转换和传递中的作用率转换和传递中的作用 。
jwL1 R1 R2 + - . US . I1 jwL2jwM S . I2 解：解： 设设 . US= 50 0o V 回路方程为：回路方程为： (R1+jwL1) . I1+ jwM . I2= . US jwM . I1+ (R2+jwL2) 代入数据解得：代入数据解得： . I1= 8.81 - 32.93o A . I2= 5.24。

36、168.87o A = SS . US . I1* (233+j582)+(137-j343) VA S2 = 0 . I2 jwM . I1+ (R2+jwL2) . I2*= I22 (-137-j343)+(137+j343)VA 39 jwL1 R1 R2 + - . US . I1 jwL2jwM S . I2 F互感电压发出无功功率补偿互感电压发出无功功率补偿L1、L2中的无功功率 。
中的无功功率 。
完全补偿完全补偿 F线圈线圈1吸收吸收137W功率 ， 功率 ，两耦合电感之间等量地传输有功功率 ， 两者恰好两耦合电感之间等量地传输有功功率 ， 两者恰好 平衡 ， 其和为零 。
平衡 ， 其和为零 。
= S 。

37、S . US . I1* (233+j582)+(137-j343)VA S2jwM . I1+ (R2+jwL2) . I2*= I22 (-137-j343)+(137+j343)VA (R1+jwL1) . I12+ jwM . I2= . I1* L1中的无功功率为中的无功功率为582乏 。
乏 。
不能完全补偿 ， 需电源提供无功功率不能完全补偿 ， 需电源提供无功功率239乏 。
乏 。
传递给线圈传递给线圈2 ，，供 供R2消耗 。
消耗 。
40 电源提供的有功功率电源提供的有功功率P= =USI1cos32.93o= =370W jwL1 R1 R2 + - . US . I1 jwL2jwM S。

38、. I2 . I2= 5.24 168.87o A . US= 50 0o V . I1= 8.81 - 32.93o A R1=3W ，R2=5W R1消耗I12 R1=233W ， R2消耗I22 R2=137W ， 平衡 。
电源提供的无功功率电源提供的无功功率Q= =USI1sin32.93o= =239Var ，互感电压发出无功功率互感电压发出无功功率343Var ，L1吸收的无功吸收的无功 功率为功率为582Var 。
也 。
也平衡 。
平衡 。
41 10-4 变压器原理变压器原理 1. 常识常识 变压器是电工、电子技术中变压器是电工、电子技术中 常用的电气设备 。
常用的电气设备 。
有单相、三相之分 。
有 。

39、单相、三相之分 。
有便于调压的自耦变压器 。
有便于调压的自耦变压器 。
在低频电路中使用的变压器 ， 如电力变压器、电在低频电路中使用的变压器 ， 如电力变压器、电 源变压器、音频变压器、仪用互感器等 ， 采用高源变压器、音频变压器、仪用互感器等 ， 采用高 导磁率的铁磁材料制成心子导磁率的铁磁材料制成心子(作为磁路作为磁路) 。
在高频电路中使用的变压器 ， 如振荡线圈、中周在高频电路中使用的变压器 ， 如振荡线圈、中周 变压器等 ， 则用铁氧体材料作为心子 。
变压器等 ， 则用铁氧体材料作为心子 。
频率很高时 ， 用空频率很高时 ， 用空(气气)心 。
心 。
220V 0250V 42 从原理上说 ， 变压器从原理上说 ， 变压器 由绕在一个共同心 。

40、子由绕在一个共同心子 上的两个上的两个(或更多的或更多的) 耦合线圈组成 。
耦合线圈组成 。
+ - + - . U1 . U2 N1N2 . I1 . I2Tr 变压器的图形符号变压器的图形符号 与文字符号与文字符号 + + - - . US ZL 一个线圈一个线圈(N1)作为输入 ， 作为输入 ，称初级绕组 ， 或原边绕称初级绕组 ， 或原边绕 组 ， 或原方绕组 ， 或一组 ， 或原方绕组 ， 或一 次侧绕组等 。
次侧绕组等 。
初级绕组接电源 。
初级绕组接电源 。
所形成的回路称初级回路或原边回路等 。
所形成的回路称初级回路或原边回路等 。
另一个线圈另一个线圈(N2)为输出 ， 称次级绕组 ， 或副边绕组 ， 为输出 ， 称次级绕组 ， 或副边绕组 。

41、 ，或副方绕组 ， 或二次侧绕组等 。
或副方绕组 ， 或二次侧绕组等 。
次级绕组接负载 。
次级绕组接负载 。
所形成的回路称次级回路或副边回路等 。
所形成的回路称次级回路或副边回路等 。
43 2. 空心空心(非铁磁材料非铁磁材料)变压器的模型与变压器的模型与分析方法分析方法 选绕行方向与电流参选绕行方向与电流参 考方向一致 ， 列一、考方向一致 ， 列一、 二次回路方程分析：二次回路方程分析： jwL2jwL1 R1 . I1 . I2 - + 1 1 . U1 2 2 R2 ZL + - . U2 jwM (R1+jwL1) . I1+jwM . I2 = . U1 jwM . I1+ (R2+jwL2+ZL)=。

42、0 一次侧和二次侧两个一次侧和二次侧两个 回路通过互感的耦合回路通过互感的耦合 联列在一起 。
联列在一起 。
令 Z11= R1+jwL1 ZM= jwM 称为一次回路的阻抗 。
称为一次回路的阻抗 。
Z22= R2+jwL2+ZL 称为二次回路的阻抗 。
称为二次回路的阻抗 。
称为互感抗 。
称为互感抗 。
则方程具有更简明的形式则方程具有更简明的形式 Z11 . I1+ ZM . I2= . U1 ZM . I1+ Z22 . I2= 0 (一次侧一次侧) (二次侧二次侧) . I2 44 解方程可得解方程可得 . I1 = Z11-ZM Y22 . U1 2 = = Z11+ (wM)2 Y22 . U1 。

43、 Zi Zi = . U1 . I1 = = Z11+ (wM)2Y22 为一次侧输入阻抗 。
为一次侧输入阻抗 。
它是二次回路阻抗和互它是二次回路阻抗和互 感抗通过互感反映到一感抗通过互感反映到一 次侧的等效阻抗 。
次侧的等效阻抗 。
(wM)2Y22=(wM)2 |Z22| 1 -j 反映阻抗的性质与反映阻抗的性质与Z22相反相反 (wM)2Y22 称引入阻抗 。
所以又称所以又称反映阻抗 。
反映阻抗 。
FF感性变容性 ， 感性变容性 ，容性变感性 。
容性变感性 。
jwL2jwL1 R1 . I1 . I2 - + 1 1 . U1 2 2 R2 ZL + - . U2 jwM 45 根据根据 . I1 = 。

44、 Z11+ (wM)2 Y22 . U1 可得一次侧等效电路可得一次侧等效电路 Z11 . I1 - + 1 1 . U1(wM)2Y22 jwL2jwL1 R1 . I1 . I2 - + 1 1 . U1 2 2 R2 ZL + - . U2 jwM 从等效电路看出 ， 变压器从等效电路看出 ， 变压器 输入端口的工作状态隐含输入端口的工作状态隐含 了二次端口的工作状态 。
了二次端口的工作状态 。
Z11 . I1+ ZM . I2= . U1 ZM . I1+ Z22 . I2= 0 由变压由变压 器方程器方程 得得 . I2= - Z22 ZM . I1 . U2 = -ZL . I2= Z22。

45、ZM ZL . I1 用用 I1 表示了表示了U2 。
. 46 也可以用二次等效电路也可以用二次等效电路 研究一、二次侧的关系研究一、二次侧的关系 现用戴维宁定理分析现用戴维宁定理分析 如下如下(注意方法注意方法)： jwL2jwL1 R1 . I1 . I2 - + 1 1 . U1 2 2 R2 ZL + - . U2 jwM . Uoc + - . I2 = 0 ，一次侧无互感电压 。
一次侧无互感电压 。
. I1 = Z11 . U1 = Y11 . U1 在次级回路在次级回路 . Uoc为为 . I1 产生的互感电压：产生的互感电压： . Uoc= jwM . I1 = jwM Y11。

46、. U1 再求等效阻抗 jwL2jwL1 R1 . I1 . I 1 1 2 2 R2 + - . U jwM 列回路电流方程列回路电流方程 (注意互感注意互感) 47 (R2+jwL2) (R2+ jwL2) . I + jwM(-jwMY11 . I ) = . U . Uoc= jwM Y11 . U1 Z11 . I1+ jwM . I = 0 . I + jwM . I1 = . U 列回路方程列回路方程 消去消去 . I1 Zeq = . U . I = (R2+jwL2) + (wM)2Y11 Zeq . I2 - + 2 2 jwMY11 . U1 ZL - + . U2 .。

47、I2 = - jwM Y11 . U1 Zeq+ ZL 一次回路反一次回路反 映到二次回映到二次回 路的阻抗 。
路的阻抗 。
二次等效电路二次等效电路 jwL2jwL1 R1 . I1 . I 1 1 2 2 R2 + - . U jwM 48 空心变压器电路分析方法空心变压器电路分析方法 方程分析法方程分析法 等效电路分析法等效电路分析法 Z11 . I1+ ZM . I2= . U1 ZM . I1+ Z22 . I2= 0 jwL2jwL1 R1 . I1 . I2 - + 1 1 . U1 2 2 R2 ZL + - . U2 jwM Z11 . I1 - + 1 1 . U1(wM)2Y2 。

48、2 Zeq . I2 - + 2 2 jwMY11 . U1 ZL - + . U2 基于方程基于方程 分析法得分析法得 到 。
到 。
二次等效电路二次等效电路一次等效电路一次等效电路 还有去耦还有去耦 等效分析等效分析 法 ， 略 。
法 ， 略 。
T型、或 型、或G G型等效电路 。
型等效电路 。
49 3. 例题分析：例题分析： 思路思路1：利用等效电路 。
：利用等效电路 。
Zeq=jwL2+(wM)2Y11=- j28 W Z22=jwL2+ZL=3+j12 W - + . U1 M + - . U2 L1L2 . I1 . I2 ZL L1=5H ， L2=1.2H ， M=2H ，ZL=3W 。
求 i1、i2 。
u 。

49、1=100cos(10t) V 一次一次 Z11 . I1 - + 1 1 . U1(wM)2Y22 Z11=jwL1= j50W Zeq . I2 - + 2 2 jwMY11 . U1ZL - + . U2 二次二次 jwM= j20W ，ZL =3W ，i2= 8cos(10t+126.84o) A i1= 4.95cos(10t-67.2o) A 由上述数据得由上述数据得(化为瞬时值化为瞬时值) 50 - + . U1 M + - . U2 L1L2 . I1 . I2 ZL 3. 例题分析例题分析： 思路思路2：方程分析法 。
：方程分析法 。
L1=5H ， L2=1.2H ， M=2H ，ZL 。

50、=3W 。
求 i1、i2 。
u1=100cos(10t) V Z11 . I1m+ jwM . I2m= . U1 . I1m+ Z22 . I2m= 0jwM 方程中： Z11=jwL1= j50W Z22=jwL2+ZL=3+j12 W . U1m=100 jwM = j20W 0o V 化为瞬时值即可 。
化为瞬时值即可 。
j50 . I1m+ j20 . I2m= 100 j20 . I1m+ (3+j12) . I2m= 0 . I1m= 4.95 -67.2o A 解之解之 . I2m= 8 126.84o A 代入得代入得 51 10-5 理想变压器理想变压器 N2N1 - + u1。

51、- + u2 n : 1 i1i2 理想变压器是实际变压器的理想化模型 ， 是对互感理想变压器是实际变压器的理想化模型 ， 是对互感 元件的理想科学抽象 ， 是极限情况下的耦合电感 。
元件的理想科学抽象 ， 是极限情况下的耦合电感 。
1. 三个理想化条件三个理想化条件 (1)线圈无电阻 ， 无损耗 ， 芯子的磁导率无限大 。
线圈无电阻 ， 无损耗 ， 芯子的磁导率无限大 。
(2)全耦合 ， 即耦合因数全耦合 ， 即耦合因数 k=1 。
(3)参数参数L1、L2 、 M 为无限大 ， 但满足为无限大 ， 但满足 L2 L1 = N2 N1 = n 2. 图形符号和主要性能图形符号和主要性能 (1)变压关系变压关系 电压与匝数成正比 。
电压与匝数成正比 。

52、 。
= N2 N1 u2 u1 = n u1和和u2的参考的参考“+ +”都在同名端时：都在同名端时： 52 (2)变流关系变流关系 N2N1 - + u1 - + u2 n : 1 i1i2 i1 = N1 N2 i2 或者或者 u1 = N2 N1 u2 = nu2 i1和和i2都从同名端流入都从同名端流入(或流出或流出)时：时： = - n 1 i2电流与匝数成反比 。
电流与匝数成反比 。
(3)变阻抗关系变阻抗关系 N2N1 - + u1 - + u2 n : 1 i1i2 ZL Zeq Zeq= . U1 . I1 = - n 1 . I2 n . U2 = n2- . U2 . I2 = 。

53、 n2ZL 理想变压器的阻抗变换性质是只改变阻抗的理想变压器的阻抗变换性质是只改变阻抗的 Zeq是二次侧阻抗是二次侧阻抗ZL折算到一次侧的等效阻抗 。
折算到一次侧的等效阻抗 。
大小 ， 不改变阻抗的性质 。
大小 ， 不改变阻抗的性质 。
53 3. 功率性质功率性质 由理想变压器的变压、变流关系由理想变压器的变压、变流关系 可得一次侧端口与二次侧端口吸可得一次侧端口与二次侧端口吸 收的功率之和：收的功率之和： N2N1 - + u1 - + u2 n : 1 i1i2 u1i1 + u2i2= u1i1+ n 1 u1(-ni1) = 0 - + u1 - + u2 + -n 1 -i2 i2i1 n 1。

54、u1 用受控表示的模型用受控表示的模型 理想变压器既不储能 ， 也理想变压器既不储能 ， 也 不耗能不耗能 ， 在电路中只起传 ， 在电路中只起传 递信号和能量的作用 。
递信号和能量的作用 。
理想变压器的特性方程理想变压器的特性方程 为代数关系 ， 因此它为代数关系 ， 因此它是是 无记忆的多端元件无记忆的多端元件 。
理想变压器理想变压器仅一个参数仅一个参数 n 。
实际的铁心变压器与实际的铁心变压器与 理想变压器特性相近 。
理想变压器特性相近 。
在实用中 ， 能根据需在实用中 ， 能根据需 要完成不同的变换 。
要完成不同的变换 。
54 求图示电路负载电阻求图示电路负载电阻 上的电压上的电压 解法解法 1 ： 列方程求解 。
列方程求解 。

55、 。
一次回路：一次回路： . I1+ . U1= 10 0o 二次回路：二次回路： 50 . I2+ . U2= 0 理想变压器的特性方程理想变压器的特性方程 . U1= 10 1 . U2 . I1 = -10 . I2 . U2 。
解得解得 . U2 = 33.33 0o V 解法解法2 ： 应用阻抗变换应用阻抗变换 得一次侧等效电路得一次侧等效电路 . U1= 1+ 0.5 10 0o 0.5 = 3 10 0o V . U2 =10 . U1= 33.33 0o V - + - + 1 : 10 50W . U2 . U1 1W - + 10 0o V . I1 . I2 - + .。

【第十|第十章含有耦合电感的电路】56、U1 1W - + 10 0oV50 10 1 2 . I1 1 55 解法解法3 ：应用戴维南定理 。
：应用戴维南定理 。
- + - + 1 : 10 . Uoc . U1 1W - + 10 0o V . I1 . I2 . I2 =0 ，. I1 =0 . Uoc=10 . U1=100 0o V - + - + 1 : 10 . U2 . U1 1W . I1 . I2 Req Req= . U2 . I2 =1021 =100 W - + . U2 - + . I2 . Uoc Req 50W . U2 = . Uoc Req+ 50 50 = 100 + 50 100 0o = 33.33 0o V 56 本章结束本章结束。

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标题：第十|第十章含有耦合电感的电路