六年级1道阴影面积题 半圆的面积怎么算

小学开始逐渐学习一些常见的平面几何图形,比如三角形、长方形、正方形、圆等;以及这些图形简朴的几何性质,比如周长、面积等 。在小学数学中,阴影部分面积是一个常考题型,本文就和大家分享一道小学求阴影部分面积的题目,难住了不少大学生家长,有家长表示:先算算我们的心理阴影面积吧!
【六年级1道阴影面积题 半圆的面积怎么算】下面我们一起看一下这道题目 。
题目如上图,已知长方形的宽为4cm,求阴影部分的面积 。
从图就可以看出,这道题的难度确实不小,图中涉及到了多种几何图形,而阴影的图形又不规则,确实不太好解 。其实,把握方法后这道题并不难 。
我们先看一下下面这道比较简朴的题目 。
如上图,已知正方形的边长为4cm,求阴影部分的面积 。
这道题的图形比较简朴,方法也多种多样,我们来看几种比较常见的方法,从而总结出规律,帮助我们解决文章开头的那道题 。
方法一:切割法
观察原图,很轻易发现:连接阴影部分的对角线将阴影部分分成了如上图面积相等的两部分,只需求出一部分的面积,整体面积也就求出来了 。
求上图的面积就非常简朴了,只需用原面积的四分之一减去左下角三角形面积即可,即π×42/4-4×4/2=(4π-8)cm2 。
所以整个阴影部分面积为:(8π-16)cm2 。
方法二:旋转法/对称法
将原图旋转或者对称变换到上图的形式,很明显两个图的阴影面积是相等的 。所以原图的阴影部分面积等于上图半圆的面积减去大三角形的面积,即π×42/2-4×8/2=(8π-16)cm2 。
方法三:容斥原理
在原图中各部分标上序号,如上图 。那么,阴影部分面积就等于圆面积的四分之一(扇形)减去①的面积,即②=S扇形-①;而①的面积又等于正方形面积减去扇形面积,即①=S正-S扇形,代入前式得到:②=2S扇形-S正=2π×42/4-4×4=(8π-16)cm2 。
对上面的结论进行分析,可以发现正方形的面积就是两个扇形面积减去阴影部分面积,也就是减去了两个图形重合的部分,这就是容斥原理 。容斥原理是求阴影面积的重要方法 。
下面再看一道轻微复杂一点的容斥原理的应用,并认识容斥原理的解题过程 。
如上图,长方形的长为6cm,宽为4cm,求阴影部分面积 。
第一步:先对各部分标号,如上图;
第二步:用标号表示出基本图形和阴影面积 。本题中,S小扇形=①+②,S大扇形=②+③+④,S长方形=①+②+③,S阴影=②+④;
第三步:根据标号,找出阴影面积与基本图形面积的关系并计算结果 。如本题,②+④=(①+②)+(②+③+④)-(①+②+③),即S阴影=S小扇形+S大扇形-S长方形=π×42/4+π×62/4-4×6=(13π-24)cm2 。
回到文章开头的题目,先对各部分标号,如上图 。
S小扇形=②+③+④;
S大扇形=④+⑤+⑥;
S右上三角形=①+②+⑥+⑦;
S长方形=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦;
S阴影=②+④+⑥ 。
所以S阴影=S小扇形+S大扇形+S右上三角形-S长方形=π×22/2+π×42/2+4×8/2-4×8=(10π-16)cm2 。
这道题目看似难度很大,但是方法实际上很简朴,容斥原理轻松搞定 。