前言:记得去年一位初三毕业生发信息给我,咨询关于求三角形周长最值的问题 。于是利用空闲时间,把题目抄下来,经过思考,翻阅资料,才知道这种类型的题目被冠以“将军饮马图”几何问题 。考虑到很多学生对此问题迷茫,甚至冥思苦想几天,也不知道该怎么解答这类几何题,于是下定决心,写一篇文章,专门讲解这类的几何知识 。图1
将军饮马有一个典故,乃是讲到唐朝诗人李欣的《古从军行》中有这么一句话:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河 。”这里面隐含着饮马图的基本模型,下图就是这个模型的初始图片 。该图片之中,将军从山峰A点出发,走到营地B宿营,怎么走才是最短的距离?当然两点之间最短的距离是线段 。而实际上最短距离是山峰到营地不是直线距离,这就要用到”将军饮马图“的原理 。
本文根据《学而思几何模型》改编而来,有兴趣的朋友建议买一套学而思书籍,认真阅读,定会有很大收获 。
一、将军饮马图的初始模型
这种例子比较简单,就是两点之间最短的距离是直线 。两点之间线段最短是一个公理 。又名线段公理 。虽然听起来很简单,似乎也很好懂,但这是饮马图的最基本概念,其它的模型都是由此而产生的,这个公理和三角形中两边距离大于第三边是一个意思 。
图2
两点之间有无数的连线,理论上来说可以是两条线段,或者更多的线段,甚至有很多有弧度的线条,但是最短的是线段 。这种情况乃是指两点位于某条直线的两侧,直接连接两点就可以构成一条线段 。
二、两点到线段同侧线段的最短距离
有时候,两点不是在线段的两侧,乃是在线段的两侧,要求两点到某条直线的最短距离,怎么求呢?这样的距离有很多组,可是只有一组是最短距离,求法还是根据饮马图原理 。
图3
根据两点之间距离最短,因此要设法找到这样的点,可以过某一点作直线的对称点,然后连接这个对称点和另外一点,这个对称点到某点的直线距离就是要求的线段长度 。细心的读者会发现,这种类型的作图法有两种,而且这两种所求的答案是一样的,如果把两点的对称点和这两点首尾相连,会构成一个等腰梯形,两条对角线是相等的 。
三、三角形周长的最小值
设P为某角内一点,在射线l1,l2上分别找点M,N使得△PMN的周长最小 。
图4
这个题目中有两个动点M、N,难度明显加大,解题方法仍然是按照饮马图的要求来解答,还是设法把三条线段凑到一条线段上,有了这样的解题思路,解答题目就变得轻松,不再困难 。这里有一个关键点,就是怎么找对称点,方法是以P点为对称点,分别作l1,l2的对称点 。然后连接两个对称点 。这两个点和l1,l2分别有交点,可以证明这两个对称点的连接线就是三角形的周长的最小长度 。同样的道理,可以求出四边形的最小周长 。
图5
下面有一道题目是根据饮马图原理而编出来的试题,看一下自己能否解答出来,如果解答不出来,可以私信给我,要答案,如果解答出来,可以找我对答案 。
图6
以上介绍饮马图常见的几何知识,还有一些知识,没有在文章中列出,如果想要,请在下面留言,本人一定把相关知识告诉您,如果您对饮马图几何知识还有什么其它疑问,请在下面留言 。
文章插图
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