牛顿运动三大定律背后那些传说和伟大人物｜伟大的数学公式巡礼( 二 ) _小知识

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埃德蒙顿·哈雷英国天文学家、地理学家、数学家、物理学家，计算出哈雷彗星的公转轨道，并预测其回归
哈雷慷慨解囊，为牛顿巨著的付印支付了部分费用；他的这一义举最终以一种非常独特的方式得到了回报：除了对苹果和行星以外，牛顿的理论也可应用于彗星。其实这正是牛顿本人强调指出的一点。因为彗星的轨道是椭圆，所以它们一定会一次又一次地回归。哈雷意识到，人们曾多次观察到一颗特定彗星，它以大约75年的周期回归：1456年、1531年、1606年和1682年。于是他正确地预测了这颗彗星将会在1758年（那时他早已离世）再次回归。从那时起，这颗彗星每隔75至76年就会回归一次，人们现在称它为哈雷彗星。
牛顿第一定律说运动物体将永远保持匀速直线运动，除非有外力将其停止或者改变其运动方向。乍听起来这似乎相当令人吃惊：不管怎么说，高尔夫球不会永远向前，行星的运行轨道也不是直线。在这两种情况下，原因都出在作用在物体身上的外力上面。作用在高尔夫球身上的外力是地球的吸引力、在空中时风的阻力、落地后与地面的摩擦力。对于行星来说，这个看不见的力是太阳的吸引力。
牛顿第二定律称，作用在物体上的力等于其动量的变化率。我们可以用微积分的语言将其写为

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回想一下，d/dt 代表变化率，而 mv（其中 m 是物体的质量，v 是其速度）代表动量。在绝大多数实际条件下，物体的质量不会改变；在这种情况下牛顿第二定律即为 F＝ma（即力等于质量乘以加速度）；今天，每一个开始学习物理的学生对此都耳熟能详。
牛顿第三定律为：“对于任何一个作用力，都存在着一个与它大小相等方向相反的反作用力。” 物理学家们不像使用前两个定律那样经常使用这一定律，但它能解释许多现象，其中包括火箭为什么能工作。火箭通过喷嘴喷出推进尾气，因此产生了反作用力：这使火箭具有相反方向的加速度。

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这三大定律共同解释了所有的力是如何影响一切固体的运动的。另一方面，牛顿引力定律只能应用于一种力：引力。这一定律称，在质量分别为 M 与 m 的两个物体之间存在的引力的大小为：

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分母 r2 表示引力的强度与行星和太阳之间的距离r的平方成反比。（这是胡克、雷恩和惠更斯已经猜到的部分。）负号与矢量 r∧(读作“r-帽”)表示力的方向指向太阳。换言之，开普勒和笛卡儿是错误的。并不存在沿着轨道推动行星运行的力，而只是一个侧向的引力，即朝向太阳的引力。
牛顿真正独树一帜的成就是他运用微积分把引力定律和他的运动定律结合，从而建立并随之解决了描述行星轨道的方程的能力。当人们不仅可以观察，而且可以预测和控制行星的运动，以及最终可以观察、预测与控制火箭与宇宙飞船的运动的时候，牛顿的物理洞察力与数学工具便一起引导了天体动力学新时代的来临。
(完)
上文节选自《无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事》, 已获出版社许可. [遇见数学] 特此表示感谢!
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书中这些故事既长知识又有趣，比如：发现世界上最简单的方程，这意味着什么；如果世间未曾有过“0”这个概念，将会怎样；牛顿运动定律如是何使人类做到这一切的——从建设桥梁到预测天气；一根劣质雪茄如何改变了量子力学的进程；为什么鲸鱼（如果它们能和我们交流的话）会教给我们完全不同的几何概念？