作为图形科学的平面几何｜《几何世界的邀请》( 二 ) _几何

定义在射线 OX 上 OE = 1 处的点为 E 点，当射线 OX 从 OA 旋转至 OB 时，点 E 作出一个圆弧。这个圆弧的长度是射线 OX 的旋转量，这样来想的话，我们就很清楚地明白旋转量的意思了。但是，圆弧的长度是平面几何范围外的知识，所以我们不能使用圆弧的长度来定义角的大小。

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要想测量角的大小，从实用的角度来说，使用量角器是很方便的。量角器的刻度表示圆弧的长度，所以用量角器测量角的大小和用圆弧的长度表示角的大小的原理是相同的。

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点C在∠AOB 内部时，如果作出射线OC ， ∠AOB 就会分成∠AOC 和∠COB两个角。这时，角的大小的等式为
（1.1）　∠AOB = ∠AOC + ∠COB

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三角形三角形　不在同一条直线上的三点A、B、C 两两连接变成线段BC、CA、AB ，它们构成的图形叫作三角形ABC ，用符号△ABC 来表示。点A、B、C 叫作△ABC的顶点，线段BC、CA、AB 叫作?ABC的边。∠BAC、∠ABC、∠BCA 叫作△ABC的角或者内角，有时简写成∠A、∠B、∠C 。另外，把∠A、∠B、∠C 分别叫作边BC、CA、AB 的对角，边BC、CA、AB 分别叫作∠A、∠B、∠C 的对边。由三条线段BC、CA、AB 围成的部分平面（阴影部分）叫作 △ABC 的内部。

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【作为图形科学的平面几何｜《几何世界的邀请》】
公理Ⅲ　在 △ABC 中
AB < AC + CB
《理解几何学》的公理Ⅲ结合了此处讲到的公理Ⅱ与公理Ⅲ* 。
公理Ⅲ*　线段AB 是连接点A 和点B 两点间的最短距离。
我们可以知道，公理Ⅲ是公理Ⅲ 的特殊情况。在本章的平面几何中，如果有公理Ⅲ ，便不需要公理Ⅲ 。我们用公理Ⅲ取代公理Ⅲ* 。

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注意　在平面几何中，长度被明确定义的线仅仅是有限个线段连接而成的折线。举例来说，公理Ⅲ* 实际上主张，当把点A 和点B 像前一页最下方的图那样用折线连接起来的时候，则
AB < AC + CD + DE + EB
将这个不等式与公理Ⅲ结合，可以做如下证明。
AB < AE + EB < AD + DE + EB
< AC + CD + DE + EB
公理Ⅲ* 比公理Ⅲ要常见，但实际上与公理Ⅲ相同。
初中生应该很容易明白公理Ⅰ的意思。我也是在旧制中学时毫无异义地接受了公理Ⅰ 。但是，仔细一想，我注意到，虽说图形可以在不改变其形状和大小的情况下改变其位置，但是“形状和大小”的意思并不是很清晰。庆幸的是，在本章中，适用公理Ⅰ的图形都是三角形。关于三角形， △ABC 的“形状和大小”是由 3 个角∠A、∠B、∠C 的大小与 3 条边 BC、CA、AB 的长度来决定的。因此在适用三角形的情况下，公理Ⅰ变成如下内容：

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公理Ⅰ△　三角形可以在不改变 3 个角的大小和 3 条边的长度的情况下改变其位置。
这叫作移动① 三角形。
如果将平面上的三角形看作是把三角尺放置在平面上，那么就可以随意平移、旋转三角形。在平面几何中，三角形并不是放置在平面上的，但是，与在平面上移动三角尺一样，平面几何中的三角形也可以自由移动，这就是公理Ⅰ△ 。

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如上所述，本章适用公理Ⅰ的图形仅限于三角形，所以在此舍弃公理Ⅰ ，取而代之使用公理Ⅰ△ 。因此就可以不使用“形状和大小”这种模糊的表达方式了。以防万一，我们在此整理总结一下前面提到的公理。
公理Ⅰ△　三角形可以在不改变3 个角的大小和3 条边的长度的情况下，改变其位置。