天文学趣味数学故事：数学家阿仁斯道夫——阿波罗登月中的幕后功臣( 二 ) _数学家

文章插图
卡尔 ? 西格尔（1896-1981）
获得博士学位后，阿仁斯道夫回到了哥廷根。正好这时，美国到德国搜罗人才，一个三人小组找到了他。1957 年，在得到了丰厚的房、车许诺之后，阿仁斯道夫接受了陆军弹道导弹局（Army Ballistic Missile Agency, ABMA）的非军事编制科学家的任命，他带领妻子和一个刚刚出生的儿子移民美国。1960 年在归化为美国公民时把全家的姓简化成了 Arenstorf ，显然是为了纪念他的英雄母亲。这个陆军弹道导弹局是个什么单位呢？ ABMA 成立于 1956 年 2 月。它的技术主任就是大名鼎鼎的德国 V1 和 V2 火箭的总设计师沃纳 ? 冯 ? 布劳恩（Wernher von Braun）。“PGM-11 红石（Redstone）”是 ABMA 的第一个重要项目，基本上是 V2 火箭的继续。美国海军研究实验室搞的第一个发射卫星的“先驱计划” 失败后，布劳恩搞的中程弹道导弹 IRBM“丘比特 -C 型火箭”正好适用于发射美国第一颗人造卫星的“朱诺一号运载火箭”的设计要求。1956 年 9 月，美国使用“丘比特 -C 型火箭”成功发射了一个卫星模型。人们普遍认为，如果当时美国政府允许搭载真的卫星的话，那世界上第一颗人造卫星就不是苏联人发射的“斯普特尼克 1 号”卫星了。1958 年 1 月， “丘比特 -C 型火箭”将美国第一颗人造卫星“探险者 1 号”送入地球轨道。阿仁斯道夫就是在这样一个大环境中加入了布劳恩的团队的。1960 年， ABMA 被合并到 NASA ，阿仁斯道夫也随着变成了 NASA 的一名科学家，仍然在布劳恩的手下工作。

文章插图
沃纳 ? 冯 ? 布劳恩（1912-1977）
阿仁斯道夫的专业方向是数论，听起来跟天体力学完全没有关系。即使他拿到博士学位后立即转行，也很难想象他能被布劳恩选中研究天体轨道问题。这里的关键是他使用的研究工具——复分析。前面说过，他的博士论文结果是用的复分析。现在我们再来看看他是怎样把复分析用到天体力学里，具体地说就是怎样用到三体问题中的。

文章插图
阿仁斯道夫转为 NASA 科学家时的照片
三体问题是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。这是一个有三百多年历史的古老问题。历史上，包括欧拉、拉格朗日和庞加莱在内的著名数学家都研究过。如果把这些运动方程都罗列出来一共有 9 个方程。

文章插图
三体问题图释
现在已经知道，三体问题不能精确求解，即无法预测所有三体问题的数学情景，只有几种特殊情况已有研究结果。但即使是用数值解法，也不能得到稳定的解，因为初始值的一点波动都会导致解完全不同。庞加莱率先考虑了一个特殊的情况：在三个天体中有一个的质量与其他两个相比如此之小到了可以忽略其对另两个大天体运动的影响。这样，两个大的天体就可以看作是一个二体问题。而二体问题早在牛顿时代就已经圆满解决了。也就是说，它们可以按照开普勒定律绕着它们的质量中心作稳定的椭圆运动。然后把小天体加入到这个二体系统中，看这二体对小天体的影响。这样的三体问题称作是限制性三体问题。其方程从 9 个减少到 3 个。

文章插图
地球和月球在一个平面上
NASA 要研究的正是一个限制性三体问题，因为 NASA 关注的是在 1960 年代末的登月问题。而前人还没有找到一条让人造卫星飞向月球的路线。所以阿仁斯道夫所面对的三体就是 4 ：地球（E）、月球（M）和人造卫星（P）。显然，地球的质量远远大于月球的质量。而人造卫星的质量对地球和月球运动的影响可以忽略不计。这三体都被看作是点质量，并且是在同一个平面上。于是这个平面就可以被看作是一个复平面。假定这个三体系统的总重量为 1 ，月球的质量为 μ（ 0 < μ << 1="">