将数字1加到100的几种技巧从1加到100的快速 _快速

有一个广为流传的故事，说著名数学家高斯有一个懒惰的老师。所谓老师是想让孩子忙起来，好让他午睡，于是让全班同学把数字1加到100 。
高斯回答他:5050 。计算速度很快，老师的怀疑是作弊。高斯当然没有！手动将1加到100是愚蠢的。高斯发明了一个公式来避免这个问题:
下面分享一些关于这个成绩的解释，真正直观的理解一下。对于这些例子，我们将把1加到10，然后看看它如何应用到1到100(或1到任何数) 。
1:匹配数字。
配对数字是解决这个问题的常用。不要将所有数字都写在一列中，而是按如下方式将它们括起来:
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
一个有趣的模式出现了:每个专栏的红豆博客总和是11 。随着上排数字的增加和下排数字的减少，各列之和保持不变。
因为1和10(我们的n)配对，所以可以说每一列都有(n+1) 。我们有多少对，我们有2个相等的行，我们有n/2对。
这是上面高斯的公式。
奇数项怎么办？
啊，我很高兴你提到它。如果我们把数字1到9相加呢？我们没有偶数的物品来配对。
让我们把数字1加到9，而不是从1开始，让我们从0开始计数:
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
通过从0开始计数，我们得到一个“附加项”(总共10个)，所以我们可以得到偶数行。然而，我们的公式看起来会有所不同。
请注意，由于0和9是分组在一起的，所以每列之和是N(而不是N+1)；和以前一样)；我们在2行中有n +1个项目，总共(n+1)/ 2对(而不是在2行中正好有n个项目，总共n/2对) 。如果您插入这些数字，您将得到:
和前面的公式一样！同一个公式对奇数和偶数都有效！
2:涂两条线。
上面的是有效的，但是你对奇数和偶数有不同的处置，需要分别处置。有没有更好的办法？是的。
让我们把它们写成两行，而不是绕圈子:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
请注意，我们有10对，每对加起来是10+1，每列的总数是11 。
以上所有数字的总和是
但是我们只想要一行的和，不是两行。所以我们把上面的公式除以2得到:
【将数字1加到100的几种技巧从1加到100的快速】
这很酷(像数字线一样酷) 。适用于奇数或偶数的相同项目！
3:做一个长方形。
这是解释旧配对的新。不同的解释对不同的人更有效，但我更喜欢这个解释。假设我们用豆子(用X表示)代替写数字。我们想在2到3个豆子中加入1个豆子…一直到5个豆子。
当然，我们可以选择10个或100个豆子，但5个也行。我们如何计算三角形中豆子的数量？
嗯，总和明显是1+2+3+4 +5 。不过还是区别对待吧。假设我们镜像三角形(我将应用镜像bean“o & quot；)，然后翻转一下:
很酷吧。变成一个矩阵团队。请看矩阵的最下面一行。它有五个X和一个O 。在前一行中，1个X(共4个)减少，1个O(共2个)增加。就像配对一样，一边在增长，一边在减少。
现在解释一下:我们总共有多少颗豆子？这是矩形的面积。
我们有n行(我们没有改变矩形中的行数)，我们的聚合的宽度是(n+1)个单位，因为1“o & quot；所有的“x & quot都是成对的。
请注意，这一次，我们不管n是奇数还是偶数，总面积的公式是一样的。如果n是奇数，则每行的项目数是偶数(n+1) 。
但是，我们当然不要总面积(X和红豆博客O的个数)，只要X的个数，既然我们把X翻倍得到O，那么X本身只占总面积的一半:
我们又回到了原来的公式。同样，三角形中x的个数= 1+2+3+4+5，或者1到n的和。
技巧4:平均
我们都知道
平均值=总数/数量
我们可以把它改写成
总数=平均数*数量
所以，我们来算一下总和。如果我们有100个数字(1…100)，那么显然我们有100个项目。
要得到平均值，请注意所有数字都是均匀分布的。每一个大数字的另一端都有一个小数字。我们来看一个小插曲:
1 2 3
平均值为2 。2已经在中间了，1和3 & quotOffset”，所以它们的平均值是2 。
对于偶数个项目
1 2 3 4
2到3之间的平均值是2.5 。
注意，在这两种情况下，平均值的最左边是1，而最右边是n，因此，我们可以说所有聚合的平均值实际上只是1和n: (1+n)/ 2的平均值。
把它放在我们的公式里。
看啊！我们有第四种方式来思考我们的公式。
为什么这很有用？
三个原因:
1)快速添加数字可能对预测有用。
请注意，该公式扩展为:

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