羞怯的数学家黎曼，有着太阳一样辉耀的心( 二 ) _黎曼

在柏林大学的两年期间，黎曼如饥似渴地学习新的、充满活力的数学，那会儿年富力强的数学家雅可比、狄里克莱、施坦纳和艾森斯坦等人都在柏大。黎曼向他们学到了很多东西——从雅可比那里学到高等代数和高等力学，从狄里克莱那里学到数论和分析，从施坦纳那里学到了现代几何，而从仅仅比他年长三岁的艾森斯坦那里则学到了椭圆函数和自信，他有信心超越那些前辈同行。

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哥廷根数学研究所走廊里的黎曼像。作者摄
一颗太阳一样辉耀的心1849年，黎曼从柏林回到哥廷根。两年以后，他以一篇题为《单复变函数一般理论的基础》的论文获得博士学位，那年他25岁。在哥廷根求学的最后一年半，以极大的兴趣去听哲学讲座和韦伯的实验物理学课程，把他的纯粹数学暂时放到一边。这使得他后来的数学工作常常处于更深的哲学背景下，同时也毕生保持了对物理学的浓厚兴趣。虽说黎曼外表文弱、羞怯，内心却勇敢而强大，有一颗像太阳那样辉耀的心，加上卓越的才华，使他具备一种惊人的冲击力和能量。
复变函数论是数学的重要分支，黎曼与法国人柯西、德国同胞维尔斯特拉斯被公认为是这一分支的三大奠基人，他们的出发点有所不同，柯西是从分析出发，维尔斯特拉斯是从函数论出发，而黎曼则是从几何出发。黎曼给单值解析函数下了严格的定义，还对多值函数定义了黎曼曲面。此外，他还率先研究了曲面拓扑，并解决了曲面上函数存在性和唯一性问题，这对后世有着重要影响。这篇论文是19世纪数学的经典，但在当时除了被高斯关注以外，并未引起太多反响。直到三年以后，黎曼才被哥廷根聘为无薪讲师。

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黎曼任无薪讲师时的故居。作者摄
1854年，黎曼为无薪讲师职位做了就职演讲。黎曼向系教授会提交了三个题目，其中两个是关于数学物理的，他原本希望能选中这两个题目中的一个，因为他已经有所准备。但是最后时刻他又说出了第三个题目，那是关于几何基础的。没想到高斯对这个问题更感兴趣，他本人对此已考虑多年，并与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家鲍耶各自建立了一种非欧几何学，即罗氏几何。尽管黎曼并未有完全的把握，也只好硬着头皮上台了。
黎曼演讲的题目是《论作为几何学基础的假设》，从中他建立起黎曼几何学的基础，并给出了黎曼度量的定义。他把高斯的内蕴几何从欧几里得空间推广到任意n维空间，并称其为流形，再把流形上的点用n元有序数组表示。黎曼还引进子流形和曲率的概念，让他尤其关注的是所谓“常曲率空间” ，即每一点上曲率都相等的流形。这种常曲率有三种可能性：