数学中的几种“奇怪几何学”( 二 ) _几何

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▲ 双曲几何中的直线
随着越来越靠近半平面边界，距离变得越来越大，以至于只能靠近但永远无法到达边界。这样三角形是三条“直线”相交所得，并且如果你实验一下，你就会知道一个双曲三角形的内角和严格小于 180° 。

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▲ 三角形的内角之和小于 180°
还有其他方式在平面上建立双曲几何模型。其中之一是在一个圆上表示双曲平面，当你靠近圆周时，距离变得越来越大。下面埃舍尔的《圆极限 IV》(又称天堂和地狱)1960 年 7 月完成的木刻版画，作品表达了对于庞加莱所描述的双曲空间的感受。

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球面几何和双曲几何都是弯曲几何的例子，不像欧式几何是平坦的。在球面几何中，曲率是正的，在双曲几何中，曲率为负。
弯曲空间一个引起宇宙学家相当长时间兴趣的问题是，我们生活的宇宙是否是平的，在这个意义上，一个三角形的角度加起来总是180° 。看起来确实是这样，但从历史上我们知道，这不一定是种正确的解释。爱因斯坦的相对论告诉我们重力会引起空间局部弯曲。在如恒星这样的大质量物体周围，空间被扭曲。这可以通过光束在靠近这些物体时发生弯曲观察到。靠近黑洞的地方，扭曲如此之强以至于太靠近黑洞的光束被“吸进”其中无法逃脱。所以如果你想象用光束作为边来画三角形，除非你小心地选择你的位置远离大质量物体，否则无法保证内角和为 180° 。
宇宙的形状究竟怎样？自1997年的毫米波段气球观天计画开始的一连串宇宙微波背景辐射测量实验，目前科学家的观点是，事实上我们确实生活在一个平坦的宇宙中，或者说，如果有一个曲率，也是非常轻微的。