二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系 _方程

二次方程与黄金比例美国的纸张制作使用的是另一种长宽比不同的标准，叫做“foolscap（大页纸或大裁）” 。为了探究这种做法的原因，我们需要再次回到古希腊去解决另一个二次方程。一元二次方程在给毕达哥拉斯学派带来困惑与羞恼、以及第一次数学危机之后，又展现了其在实际生活中的用途——黄金比例。这个数学常数直到现在电影布景、艺术品、大自然中有很多神奇的例子，展示出本身的魅力与实用。

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让我们从矩形开始，裁去一个以矩形宽度为边长的正方形。假设矩形的长为 1、宽为 x，那么正方形的边长为 x 。将这个正方形裁去之后，我们得到一个较小的矩形，其长为 x、宽为 1-x，到目前为止，一切都显得很抽象。但是古希腊人并不这样想。他们认为，长宽比最具美感的矩形（即所谓的黄金矩形）应该是大、小矩形的构成比例相同的矩形。为了使这个假设成立，我们得到这样一个等式：

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这又是另一个一元二次方程：一个有着极广泛应用的等式，它的正数解为：

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x 的这个数值被称为黄金比例，通常用希腊字母 φ 表示。
黄金比例在视觉比例上所具有的美感启发了各领域专家和设计师，这在数学历史与数学文化上是独一无二的。
另外，x2+x=1 这个二次方程也在研究兔子种群数量的实验、向日葵花籽和植物茎干上叶子的排列规律的实验中出现。它们都是通过斐波纳契数列同黄金比例联系起来的，斐波纳契数列如下：
【二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系】在斐波纳契数列中，每一个数（从第三个数开始）都是前两个数字的和。在 15 世纪，意大利数学家斐波纳契在撰写《计算之书》中，试图预测未来兔子种群数量的时候发现了这个数列。如果你算出每个数字与其后数字的比，你就会得到这样一个数列：

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随着斐波那契数列的增加，相邻两个数之比将会越来越接近黄金比例 φ 。
在寻找上面二次方程的两个解的过程中，我们实际上也可以找到斐波纳契数列的通项。如果 Fn 代表数列中的第 n 个数，F0=1，F1=1，那么 Fn 可以由以下通项得到：

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现在，让我们暂停下，一并欣赏下体现了黄金比例的帕台农神庙，还有遵循斐波纳契数列的规律的向日葵花盘之美，再继续探索二次方程的魅力。

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圆锥曲线将二次方程与恒星运动联系起来古希腊的数学家对圆锥体进行了深入研究。公元前约 200年，阿波罗尼奥斯所著《圆锥曲线论》八卷更是与《几何原本》一样代表古希腊几何学的最高水准。莱布尼茨盛赞：“了解阿基米德和阿波罗尼的人，会对后世伟人成果就不会那么钦佩了。”
下图就是两个典型的圆锥体。可以看到圆锥体的上下半部都可以视为手电筒的光线播。当手电筒照到一个平面（比如墙壁），那么在移动手电筒时你会看到不同的投影。这些投影与平面相切得到的曲线就叫做圆锥曲线。

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▲ 圆锥的横截面可以是圆形、椭圆、抛物线或双曲线（图自维基）
如果我们沿着不同的角度将圆锥体切割，也同样可以得到这样的曲线。古希腊人系统研究了这些曲线，然后意识到它们可以被分为四类。如果水平相交，得到一个圆(circle)；稍微倾斜点角度，则可以得到椭圆(ellipse)；沿着平行圆锥的母线切割，得到抛物线（parabola)；如果采用垂直截面，则会得到双曲线(hyperbola)，如上图所示。
值得注意的是，在平面通过圆锥的顶点的时候，还会存在交线为一条直线、一个点或两条相交直线退化的特殊情况。

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▲ 平面通过圆锥的顶点时退化情况
圆锥曲线在这篇文章中出现，是因为这四种曲线都可以由二次方程表示。假如（x，y）表示平面上的一个点，用二次方程表示 x 与 y 之间的关系，我们可以得到下面几个式子：