数学漫步：如何理解四维空间中的物体？( 二 ) _空间

那么，将正四面体推广到了四维空间的东西又是什么呢？
线段有两个顶点，属于一维空间。三角形有三个顶点，属于二维空间。四面体有四个顶点，属于三维空间。不禁使人想像：此序列将会继续发展下去，而存在着这么一个四维物件，它有着五个顶点，延续了这一序列。我们可以发现：三角形和四面体的各双顶点之间皆由一条边所互相连接。若我们先不在意绘制图形所在的空间，而尝试着把五个顶点两两相连，那么我们就会发现需要十条边才行。然后，自然而然地，我们会试着在每三个顶点间都配置一个三角形。我们同样地会发现需要十个三角形。接着，我们继续在每四个点间都配置一个四面体。我们还能完全地弄清这个东西的形态……我们已知道它的顶点、边、面以及三维面，但其真面目尚朦胧不清。

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数学家使用了组合学知识来描述已知之事：我们知道是哪些边连结了哪些顶点，但我们仍然不能由几何的观点看到此物件。这个被刚我们猜想而出，而将线段、三角、四面体的序列延续下去的物件，被称作单纯形(Simplex, 或单体)！
例如，0-单纯形就是点，1-单纯形就是线段，2-单纯形就是三角形，3-单纯形就是四面体，而4-单纯形是一个五胞体。
三、施莱夫利与多面体多边形是处在平面上，而多面体则是存在于一般的三维空间里。四维（或更高维）空间中类似的物体一般而言被称为正多胞形，虽然它们常直接被称为多面体。
柏拉图讨论了普通三维空间内的正多面体，而施莱夫利则描述了四维空间内的正多面体。其中，有些多面体的性质十分丰富，而本片欲将这些多面体展示给处于三维空间中的观众们，采用的方法则与本片向蜥蜴们展示柏拉图体时所使用的方法相同，而非像是在展示一盆花或是一本书（无可否认地，要向您展示四维空间的花朵对本片的作者们将十分地困难。真可惜！）。这里我们有施莱夫利最美丽的贡献之一：对四维空间中六个正多面体完整且确切的描述。它们皆存在于四维空间中，故它们有着顶点、边、二维面、与三维面。以下将这些多面体的名称与边、面等数量整理成一个表格：

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这将有助于了解它们的具体形象。参见这里或这里或是这里以获得更多四维空间中的多面体之相关资料。
四、“看见”四维我们怎么在四维空间中“看”到东西？不幸地，我们无法给你一副 4D 眼镜，但是还有其它方法可循。
▌截面法
我们跟蜥蜴起初的时候一样地开始。我们正处在我们的三维空间中，而我们想像有个东西从四维空间中经过，然后渐渐地穿过我们的三维空间。
【数学漫步：如何理解四维空间中的物体？】此截面正在我们的空间中，且它现在是一个变形中的多面体，而不是一个变形多边形。藉由观察此截面之形状渐渐地变化，直至消失不见为止，我们就可以得到对于四维多面体的形状的一种直觉。用这种方法要认出该物体并不容易，而对于蜥蜴们来说更是困难。

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在影片中我们见到了超立方体、120、600 这三个正多胞体。看它们穿过我们的空间，展示着它们的变形三维多面体截面，令人印象十分地深刻，但却不易了解。
下面为正600胞体穿过我们的三维空间之情形。

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由于四维空间不易了解，不妨采用几种相辅相成的方法。
▌成影法
我们于此章中给出的另一个方法几乎比截面法更显而易见。对蜥蜴也可以使用这种方法。这是画家为了将三维的景色在二维的画布上表示出来所采用的技巧。他将景象投影到画布上。举例而言，他可以于物体后面放置一光源，然后观察此物体在画布留下的阴影。物体的阴影只能给出部份的资讯，但我们若把物体置于光源前旋转，然后观察影子变化的方式，我们通常就可以得出对于该物体非常确切的概念。这些都是透视法的艺术。
同理：想像我们想要表现的四维物体正位在四维空间中，而有一个灯源将其投影到我们的三维空间中的画布上。若该物体在四维空间中旋转，影子就会被变形，而我们就能得到对此物体的概念，尽管我们是看不见它的！