追寻蕴藏在圆周率 π 之中的无限美丽( 三 ) _圆周率

他所采用这样透过正多边形的几何算法是有用的，因为当时人们很难精确地测量曲面。首先，他做了已知周长的正方形的外接圆，然后在这个外接圆的外面画第二个正方形，满足外接圆是第二个正方形的内切圆并求出该正方形的周长。这样他就得到了圆的周长应该是介于两个正方形的周长之间。然而利用这种方法计算出来的两个正方形的周长差值比较大。因此他又把正方形换成五边形来重新计算圆周的上下界，他得到了一个较小的圆周的界限。之后，他不断地增加圆内切和外接多边形的边数。

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阿基米德使用穷竭法通过计算外接多边形和内接多边形的周长来估计π
边数每增加一，对 π 的估值就更精确一些。他一直计算到 96 条边的正多边形， [英文: Enneacontahexagon] 此时圆的周长位于 223/71<π<22/7 (3.1408 and 3.1429 之间) 。因此，他计算 π 到小数点后的精确两位。阿基米德的手动计算方法当然还可以再改进，这样也让他穷尽一生都没有达成。
而我国南北朝刘宋时代杰出的数学家、天文学家祖冲之利用割圆术计算12,288形的边长，得到 π≈355/113，其小数点后的前六位数都是正确值。这样的结果在之后的八百年内，都是准确度最高的 π 估计值。
数学家们继续需要去找到更有效的公式和更新的数学方法。微积分的发明使得 π 的计算有了一次大的飞跃。之后，数学家开始用无穷级数的方式来计算 π 。无穷级数是有序的无穷个数字和的表达式，而且收敛的无穷级数会得到一个特定的值。
当今世界人类有很多方法去计算 π，最早的格雷果里-莱布尼茨公式如下图所示。这样利用无穷级数去表示反正切函数 arctanx，把无穷多个小数加到一起计算出了 π 。

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当 x=1 代入方程即能求得 π/4 的值。人们所展开的项越多，结果越趋近于 π 。不过该级数收敛速度实在太慢，为了精确得到 π 小数点后 10 位，我们要把大约 50 亿项加起来才好。
探究 π 道路上再往后发展，另一位伟大的数学家欧拉（Leonhard Euler）登场。在他 28 岁(1735年)的时候为解决当时难倒欧洲所有数学家的一个难题，为圆周率找到了下面这个更妙不可言的数学表示等式，并且由他开始使用希腊字母“π”表示圆周率。之后这个符号被欧洲数学家所接受，并应用开来。

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上面其实就是巴塞尔问题的准确结果，这样其实计算得也是无穷级数和。不过，真正奇妙的是所有平方数倒数之和居然与 π 搭上了关系。
除此之外，欧拉还在另一个漂亮的方程中用到 π，即欧拉恒等式。

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计算 π 的方法再改进，感谢印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金给出了下面新的计算 π 级数方程，其收敛速度更快。话说他在印度独立工作时就提出了许多新颖的计算 π 的数列，而当他远渡重洋去往剑桥所携带的一个笔记本里就有整整 400 页都是关于 π 的内容。

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科技的进步，随着机械计算机诞生之后，数学家们就迫不及待利用这样新式工具应用莱布尼兹公式、欧拉公式和拉马努金的无穷级数来计算出 π 的千百万位小数。要知道之前手算 π 是非常困难，并且容易出错。比如，数学家威廉·向克斯宣传计算出 π 的前 707 位，但遗憾的是，从 527 位之后他就犯了一个错误，再往后的枯燥的计算显得毫无意义。
无处不在的 π

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▲ 万花尺所画出的图案，与外图板圆圈半径、内圆图板半径及笔洞位置有相关性，其图案令人联想到万花筒
π 在宇宙中无处不在，也时刻存在于我们的生命中。它真的就是被编码进了宇宙一样，被用于处理行星轨道，电磁波，河流，极光，DNA 结构，吉萨大金字塔等等……
如果一个科学家想要去描述宇宙的结构或者想要理清行星之间的关系，他绝对要用到 π 。因为任何涉及到圆或者球体的事情都与 π 有关。圆形存在于宇宙世界中任何一个角落，可以是小小的肥皂泡，可以是皎洁夜空中的圆月。这就解释了为什么数学在科学的所有领域中都是重要的，而 π 能够帮助我们去理解万事背后所蕴含的数学思想。