追寻蕴藏在圆周率 π 之中的无限美丽 _圆周率

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圆周率 Pi(π)为圆周长与其直径的比值，通常近似为 3.14159 。在美剧《疑犯追踪》第 2 季 11 集就提到了这个最著名的数学常数，该集里主角芬奇先生是一名代课老师，他在黑板上写了 3.1415926535 。然后他问学生们：“这意味着什么？”
我在脑海中立马冒出了这个问题的答案，心想：“如果我有一个直径为 1 的自行车轮胎，那么这个自行车轮胎旋转一周行驶的距离就是 π 。” 然而，在电视剧中，没有学生如此回答。
见如此场景，芬奇先生自己给出了答案，他说：“π 是圆的周长与直径之比，3.141592635 仅仅只是这个比值的前几位，它本身是一个无限不循环小数，小数点后有无限个数位，并且永不重复；你的出生日期，储物柜的密码，你的社会保险号码等等都在这个数字串的某一处。如果你把这些小数转换成字母，这些字母可以组成任何一个存在的单词，这些字母可以是婴儿发出的第一个音节，可以是你心上人的名字，可以是你这一生中的所有故事的描写，可以是我们说过的或者做过的每一件事情。世界上所有无限的可能性都存在于这个简单的圆里。现在你将如何处理这些信息；它有什么好处？这取决于你…”

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这样极具戏剧的一幕，虽并不准确(马上就会谈到)，也让我称赞不已。因为现实中有很多人都努力要成为(或者有)像芬奇所饰演优秀且有趣的教师。这样的教师不仅能引导学生们讨论课本以外的知识，而且还能让其全神贯注在课堂之中。
不过话说过来，芬奇先生所说还非100%正确的，因为数学家还没有证明 π 为正规数。换句话说，数学家们尚未知 π 是否包含从 0 到 9 的所有有限的数字排列。
数学上，粗略来说，正规数指，数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。
没有人知道如果数学家继续研究下去会发现什么。比如，当我们观察 π 的前 10 亿位时，我们看到数字 7 出现了将近 1 亿次。这使得 π 成为一个很好的随机数生成器。但是，在某些点之后，π 可能不包含 7，可能是一个只有两个或三个数字的不循环重复的数字，例如会出现 010203112233000111222333 这样诡异的序列。
这里要提到一个著名的示例，在 π 的前 761 位之后，有一个著名的数学巧合，即连续出现 6 个 9，这被称之为费曼点(“Feynman point”).

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但人们相信 π 的小数位会以一种随机的顺序永远持续下去，这就变得有趣了，它无限不循环，但同时它又是一个确定的数值。这并不矛盾，π 因为是圆的周长和直径的比值，所以它是一个有确定值的数学常数。当然，通常的计算中，我们只需要 π 的近似值就够了。
在 1768 年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯证明了 π 的值是无理数，所以它不能写成分数的那样形式。在那之前 22/7 就经常被用来当作 π 的近似值，虽然它实际上并不等于 π 。我们都知道无理数不能写成两个数字的比值（即分数，像 a/b 的形式），因为无理数是无限的，且不循环的小数。
再后来 1882 年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了 π 是一个超越数，即不是任意整系数代数多项式的根。
现在人们可以肯定地说 π 是超越数，因为数学家金田康正（Yasumasa Kanada）发现圆周率的前面万亿个数字在统计学上是随机的。如果你查看下表，你会发现每个数字发生的事件是独立的，发生的概率约是十分之一。

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圆周率中连续的六个9
许多年之后的 2019 年，谷歌女工程师 Emma Haruko Iwao 利用云计算资源，花了 121 天计算出 π 的 34.1 万亿位。你可以在你脑海中想象这样画面：如果要用普通字体打印 π 小数点后的 10 亿位，它的长度将从美国纽约延伸到堪萨斯州！
然而，34.1 万亿位这么巨大的数字仍然不足以去在数学上证明 π 是正则数成立。超级计算机仍在尝试挑战计算更精确的 π 。你查看下面的图表就会看到自公元前 250 年以来，历史时间轴图上探索圆周率的已知位数。

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▲ 当数学家发现新的算法、电脑变得普及时，π 的已知小数位呈指数增加。注意垂直坐标使用了对数坐标