拉马努金和哈代：两位数学巨匠的惺惺相惜( 二 ) _小知识

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▲给 5 块石头分组的 7 种方法1~15 的所有数字的划分数如下表所示：

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这是 2.1 节出现过的一种数列。它们在现实世界中出现的概率，几乎和斐波那契数列一样频繁。例如，通过降低给定量子系统的能级密度，来理解划分数的变化。
这些数字看起来并不像素数那样是随机分布的。但是哈代时期的数学家们都不约而同地放弃了寻找能生成列表中的这些数字的精确公式。
他们认为可能有这样一个公式，它能生成一个近似值，与 N 的实际划分数偏差不大。这和利用高斯的公式得出 N 以内素数个数的近似值如出一辙。但是，拉马努金从不畏惧这类序列。他就是要站出来找到这样一个公式，利用该公式就能轻松得出，给 4 块石头分组有 5 种方法，或者给 200 块石头分数有 3972999029388 种方法。
尽管在素数问题上马失前蹄，但拉马努金成功地解决了划分数问题。哈代对复杂问题有着强大的证明能力，而拉马努金则具有天马行空的想象力，坚信必然存在这样一个公式。二者珠联璧合、相得益彰，这促使他们发现了这个公式。拉马努金为什么就那么坚信存在这样一个精确公式呢？任凭利特尔伍德抓耳挠腮、绞尽脑汁，也找不到该问题的答案。看到这个包含 2 的平方根、π、微分、三角函数和虚数的公式时，人们总忍不住想知道这个公式到底是从哪里冒出来的呢！

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利特尔伍德之后这样评价道：“发现这一定理归功于两个人的鼎力合作。二人各有所长，并尽其所能地发挥各自的特长，不吝付出艰苦的努力。”
这个故事历尽曲折。利用哈代和拉马努金的这个复杂公式，得到的不是一个精确的数字，而是一个经过四舍五入后最接近的整数。比如，将 200 代入公式，会得到一个最接近整数 3972999029388 的值。因此，这个公式还不错，能估算出正确结果，不过却无法精确捕捉到这些划分数。（不过后来有人发现，对他们的公式稍加改进，就能得到精确答案。）
尽管拉马努金的这种直觉在素数问题上失效了，他和哈代在配分函数（partition function）上的工作却推动了哥德巴赫猜想的解决。面对这个最伟大的数论未解之谜之一，多数数学家早已放弃了破解的念头。多年来，该领域一直毫无进展。早在很多年前，兰道就宣布这是个高不可攀的山峰。
哈代和拉马努金在配分函数上的工作，使他们建立了一种现在称之为哈代—利特尔伍德圆法（Hardy- Littlewood Circle Method）的技术。这个名字源于他们在计算中使用的所有小图表。这些图表描述了虚数地图上的那些圆，而哈代和拉马努金则试图求这些圆的积分。这个方法没有以拉马努金的名字命名，是因为利特尔伍德和哈代首次使用该方法来证明哥德巴赫猜想。他们无法证明所有的偶数都能表示为两个素数之和。但到了 1923 年，他们成功证明了所有足够大的奇数都能写成三个素数之和。这对数学界来说可是个重磅消息。但要想让该结论成立，就必须满足一个条件，那就是黎曼假设是正确的。推测出这一结果，同样是相信黎曼假设会成为黎曼定理的产物。

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电影《知无涯者》剧照
拉马努金对这一方法的发展可谓功不可没。遗憾的是，他没能活着见证该方法在数学上发挥举足轻重的作用。1917 年，拉马努金的心情愈发黯淡。英国笼罩在第一次世界大战的恐怖阴影中。在三一学院研究员的评选中，拉马努金落选了。由于他的反战言论，他无缘罗素奖金。三一学院也不能容忍拉马努金这种持和平主义立场的人存在。他终于“妥协”了，把脚塞进西方人的鞋子里，穿上长袍，戴上学位帽。这些可能对他来说都变成轻车熟路的事情了，但他那种南印度人的灵魂始终还在。
对拉马努金而言，剑桥大学开始成为监狱一般的存在。拉马努金已经适应了印度那种自由自在的生活。那里气候温和，人们可以长时间在室外活动。而在剑桥大学，他不得不躲在那厚厚的大学墙内，以免受北海吹来的寒风侵袭。而不同的文化背景意味着他除了正式的学术交流之外，与外界没有任何联系。同时他开始意识到，哈代力求严谨，这束缚了他在数学天地中自由驰骋的脚步。