大自然的几何——分形中的数列与迭代( 二 ) _分形

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对于一次函数，如果系数大于1，则迭代结果越来越大，反之，对于

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不管初始值在哪里，10 次迭代后都接近 10，如果类比上面的等比数列，一次函数的斜率可近似看做等比数列的公比，这里注意，一次函数中如果有常数项，则不是等比数列。但我们仍可以近似理解为比例，因为当 xn 无穷大时，常数项可以忽略不计。所以当 |r|<1，收敛；|r|>1，发散，似乎仍然有效。
但是当迭代包含平方，根式，分式等关系时，我们仍发现结果存在发散和收敛的情况。当我们观察的函数不局限等比等差这种规范的关系时，给出任意非线性函数，以及不同的初始值，发现在某些情况下，不断迭代的结果会趋向于一个定值，而这个值我们在数值分析中称为不动点，不动点迭代（Fixed point iteration）指的是：选择适当的初始值 x0，按照如下的迭代格式计算，

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，n=0,1,2...，如果数列 {xn} 有极限

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则称迭代是收敛的，x^* 是非线性方程的根和 φ(x) 的不动点。
那么对于不同的函数，什么样的情况下收敛，我们可以通过迭代回形图试着寻找一下。

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以上两种情况是收敛的，我们发现 φ(x) 在 x^* 附近较平缓；

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以上两种情况是发散的，我们发现 φ(x) 在 x^* 附近较陡峭。
如果结合我们之前总结的等比数列当公比,则数列有极限，类比到一般函数，此时的

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，结合导数定义，因此我们可以联想到或许当 |φ'(x^*)| <1时，函数 φ(x) 收敛且有不动点。
在得到不动点结论的过程中，我们并没有严格的证明，更多的是一步步探索发现和总结，如何从问题的表向到本质，再从本质到外化，即从特殊到一般，再从一般理论到应用，这应该是发展的一般规律，也是学习的自然过程。
最后再回到分形，“分形不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式。”在分形的世界中，每个人都可以是艺术家。
【大自然的几何——分形中的数列与迭代】

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如果给你这样一幅画，你会不会以为这是出自哪个抽象派画家之手，但实际上这个形状仅仅出自一个纯数学的练习。Mandelbrot在TED演讲中曾介绍过分形和混沌，他总结的最后一句话。