大自然的几何——分形中的数列与迭代 _分形

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今天的主题是几何，大自然的几何，一说到几何，大家肯定不陌生，三角形，正方形，圆等，但是自然界中的形状都是三角形，正方形和圆吗，并不是，经典几何学所描绘的都是由直线或曲线，平面或曲面所构成的各种几何形状，他们是显示世界中物体形状的高度抽象。伽利略说：大自然的语言是数学，它的标志是三角形、圆和其他图形。但是对于了解大自然的复杂性来讲，欧几里得几何学是一种不充分、不具有普遍性的抽象。
在 Mandelbrot 1975年出版的《大自然的分形几何学》一书中，有这么几句话：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的‘分形’……”分形的提出是为了更好的去描述、解释真实的大自然。也正因为此，Mandelbrot被称为“分形之父” 。
最著名的分形问题是海岸线到底有多长，Mandelbrot给出的答案是：海岸线的长度是不确定的！海岸线的长度取决于测量时的尺度，就好比同样是一段路，大象和蚂蚁测量的步数绝对差很多，这是因为大象忽略了细节，而蚂蚁的路程远大于大象，这好像又给龟兔赛跑一个更合理的理论依据。

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如果你仔细看一下这几幅图，你会很快总结出来分形的特征，那就是具有自相似性；具有无穷多的层次；和通常可以由一个简单的，递归、迭代的方法产生出来。
简单的、递归、迭代，只要你稍微熟悉些高中数学好像对这些定义就不陌生，没错！数列！如果说上面是图形的迭代让人很有距离感，那么数字的迭代就会很亲切。
第一次介绍分形是在高一讲授数列极限的时候，我是以这样一个问题引入：是否存在这样一个图形，具有有限的面积却拥有无限的周长？当学生找不到答案的时候，此时我会带着学生从一个正三角形(边长为 l )开始，根据下列规则进行构造：
步骤 1: 将其每边三等分；
步骤 2: 以中间的 l/3 段为边向外作正三角形；
步骤 3: 将第二步中的 l/3 边长去掉，得到一个新的多边形。
然后把这个过程无限继续下去.

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接下来，计算一下无限次后的图形周长和面积。
第1次分形后周长

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第2次分形后周长

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第3次分形后周长

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……
第 n 次分形后周长

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同理可得，第 n 次分形后面积

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当n趋向无穷次周长与面积：

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所以我们得到了无限次后的图形周长是无穷大的，但是面积确是有限的。像这样的图形还有很多，我们把这类图形叫做Koch曲线。同时可以得到数列极限的收敛与发散的条件。

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上面边两张图分别是公比 r>1, r<-1 。

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上面两图公比为 0<r<1, -1<r<0 。
因此，我们总结出对于等比数列，当 |r|<1，数列收敛，lim a_n=Constant；当 |r|>1，数列发散，lim a_n=∞ 。
为了更好的理解这种迭代过程，下面会通过数据和图形给大家一个直观的感受。
分别选择几种常见的函数，作为迭代公式，在给定一个初始值的情况下，我们看一下迭代 10 次后的一个效果。

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