一个公式玩转勾股数勾股数公式 _小知识

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作者 | 王至宏
【一个公式玩转勾股数勾股数公式】广州大学数学系
▎勾股定理
公元前1000多年，商高答周公曰：“勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”故而，勾股定理又称“商高定理” 。

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2002年数学家大会会标
从第一组勾股数发现至今，已过去3000多年。
对勾股数，你真的了解吗？

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会标上的勾股定理
举个例子，请写出所有包含12的勾股数。
经过计算，容易求出这四组
[5,12,13]
[9,12,15]
[12,16,20]
[12,35,37]
但包含12的勾股数只有这4组吗？
此外，平时遇到的互素勾股数中，总有一个是4的倍数，且最大数与该数求和作差，结果都是平方数。
例如
[3,4,5]，5+4=32，5-4=12
[7,24,25]，25+24=72，25-24=12
[8,15,17]，17+8=52，17-8=32
[9,40,41]，41+40=92，41-40=12
是巧合还是一般规律？
如果有普遍的勾股数公式，这类命题就可以轻松论证了。
下边就来说说，公式应该怎么求。

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勾股树
▎勾股数公式
早在古希腊时期，欧几里得就已经给出了勾股数公式。

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而公式的证明，用初中知识就足够了。
很多时候，公式定理怎么得来，比怎么证明更加重要。
▎公式怎么求
公式的产生，有两种方法最常见。
一、直觉
说到公式直觉，就不得不提到，印度一千年来最伟大的数学家——拉马努金。

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他没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，惯以直觉导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。
他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。

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电影《知无涯者》
他有很强的直觉洞察力，虽未受过严格数学训练，却独立发现了近3900个数学公式和命题。
拉马努金恒等式
他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示，早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题，日后有许多得到了证实。
——资料摘自百度百科
直觉是学识，阅历，人生经历等在一瞬间集合之后发生的反应。影响因素很多，通常还需要一万小时的刻意练习。这里重点介绍寻找公式的第二种方法。
二、合情推理
那美女归，林柳绿呀！（钠镁铝硅，磷硫氯氩）

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初高中挖空心思背的元素周期表，都要归功于门捷列夫”玩”的一手好牌。
据说门捷列夫从小爱玩扑克牌，经常牌不离手。
有一回，他在撰写《化学原理》时，遇到了难题。为了寻找元素的科学分类方法，不得不研究有关元素之间的内在联系。

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正在思考，请勿打扰
他埋头在图书馆里夜以继日地阅读、思考，并琢磨出一套特殊的“扑克牌”来帮助寻找元素之间的规律。
有一天，门捷列夫又旁若无人地摆弄起“纸牌”来了，摆着，摆着，他像触电似的站了起来，在他面前出现了完全没有料到的现象，每一行元素的性质都是按照原子量的增大而从上到下地逐渐变化着。

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这一天，元素周期律被发现了。
巧合往往受原理支配，合情推理就是透过巧合寻找原理的过程。

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合情推理的大致过程
把勾股数放在一起会出现什么规律？
▎勾股规律
初中经常遇到这几组勾股数，观察规律：

一个公式玩转勾股数 勾股数公式

一个公式玩转勾股数勾股数公式