什么是费马素数费马素数猜想 _小知识

文章插图
皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就丝毫不比当时的职业数学家差。他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王” 。

而费马最著名的定理，莫过于费马大定理。很多人也是因为费马大定理，而知道了费马这个人的名字。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。
【什么是费马素数费马素数猜想】

著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“ 。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就。17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

费马一没事就喜欢看看数学著作，在书上写一些自己的见解和推论（还不带证明的过程）；费马偶尔还会向那些职业人士挑战，弄得职业选手常常很没面子。费马专注于一些著名的传奇数学书籍，比如：欧几里得的《几何原本》，丢番图的《算术》等等，其中偶尔得到的费马大定理以及那句''我已发现了这个定理的绝妙证法，可惜这里页面的空白地方太小，写不下。''更是世人皆知的经典。

大约1640年，费马像往常一样，没事用笔勾勾圈圈，无意发现这样的一个式子：

费马素数Fn：其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。

文章插图
费马求出了当n=0,1,2,3,4时的值，并且全部都是素数，所以费马当时就猜测当n=5是，F5也会是素数，不过费马并没有给出n=5时的值。时间一晃就到了1729年。哥德巴赫给欧拉的一封信里提到了关于费马数的猜想，并且寻求欧拉的帮助，不论是证明，还是推翻。时年，欧拉22岁。这个问题迅速吸引了欧拉的注意，欧拉着手开始对F5的情况开始研究。

1732年，欧拉发布了研究成果，证实了F5是个合数，于是费马数猜想被否定。宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。也就是说，已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。

看到很多资料上说，当年欧拉为了解决验证这个问题，在2年时间里用去了所有的周末才得到这个分解了F5 。这在我看来根本是无稽之谈。因为这个大数的一个因子仅仅才641，并没有多大，哪怕一个笨人拿着素数表一个一个算也不用两年吧。要知道欧拉可是在双目失明的情况下，用心算就可以证明梅森数M(31)=231-1=2147483647是素数的大师。后面才知道，欧拉在这2年的周末里对费马数做了大量的研究，不仅仅是验证了F5，他发现了费马数的一系列性质：
如果费马数是一个合数，那么F(n)必定有一个因子是2n+2×k+1 。1801年高斯证明了，一个正多边型多边形可以用尺柜作图的充分条件是：边数n是2的幂次与若干费马素数的乘积。高斯也认为这是必要条件，但他没给出证明，Pierre Wantzel证明了必要性，所以它现在被称为“高斯-Wanzel定理” 。令人尴尬的是，其实到目前为止，人们动用超级计算机，自F(5)之后就没有发现任何一个素数，全部是合数！
到目前为止，只知道以上五个费马数是素数。此外，还证明了48个费马数是复合数。这些复合数可以分成三类：
①当n=5,6,7时，得到了Fn的标准分解式；
②当n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55，58，63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250,267,268,284,316,452,556,744,1945时，只知道Fn的部分素因数；
③当n=14时，只知道F14是复合数，但是它们的任何真因数都不知道。
因此，在费马数列中是否有无穷多个素数，或者是否有无穷多个复合数，都是未解决的问题。自从费马猜想被否定后，有人猜想费马数列中只有有限个素数，这一猜想也未解决。还有一个未能证明的猜想：费马数无平方因子。所以，是否还存在了F0到F4外的费马素数？费马素数是否存在无穷多个？这一点到现在都还没有人知道。也许在不就的将来，会有人能证明。

特别鸣谢：本文的部分信息是从以下的网站上找到的：
https://byte.baike.com/cwiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC&fr=toutiao

https://byte.baike.com/cwiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E8%B4%A8%E6%95%B0&fr=toutiao?isPreloadWebView=1

什么是费马素数 费马素数猜想

什么是费马素数费马素数猜想