sinx^2的周期是什么 sinx^2的周期性 _小知识

sinx^2的周期是不存在的。有位网友提问：sinx^2的周期是什么？显然，他是认为sinx^2的周期是存在的，那他就搞错了。其实sinx^2并不是一个周期函数，所以它的周期是不存在的。

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可能这位网友认为，正弦函数是一个周期函数，那么sinx^2理应也是一个周期函数。其实周期性是函数的一个性质，而复合函数是很容易改变函数的性质的。比如奇函数和奇函数的复合函数，就有可能变成偶函数，而除了两个奇函数相加减，否则就很难保持奇函数的性质。周期函数也是如此。正弦函数是周期函数，但外函数是正弦函数，而内函数是二次函数x^2时，这个复合函数却没有周期性。
我们可以用反证法来证明sinx^2是不存在周期性的。假设sinx^2有正周期t，未必要取最小正周期，任何周期都可以证明它不存在。那么sin(x+t)^2=sinx^2 。又sin(x+t)^2=sin(x^2+2tx+t^2)=sinx^2 。根据正弦函数的周期性，若sinx^2是周期函数，则必须有2tx+t^2=2kπ, k为整数。这说明什么呢？这说明t是x的一个函数。即t会随着x的变化而变化。也就是说，如果sinx^2是一个周期函数的话，那么它的周期t将会受到x的影响，在不同的点上，周期都是不同的。这显然和周期函数的定义相矛盾，因此sinx^2并不是一个周期函数。
假如求的是(sinx)^2的周期的话，那倒是存在的。有很多数学学得不太好的朋友，经常在书写方面非常不讲究，却不知，书写不讲究也是学不好数学的一个重要原因。
如果要求(sinx)^2的周期，就先把它化为(1-cos2x)/2，由于cos2x的周期是π，因此(sinx)^2的周期也等于π. 从这里我们可以发现，当周期函数在复合函数中作为内函数的时候，其周期性就容易得到保留。而当周期函数在复合函数中作为外函数时，在内函数为一次函数时，复合函数就是周期函数。
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