狄拉克的剑气到底有多长作为物理学中最重要的方程之一

作为物理学中最重要的方程之一，狄拉克方程[1]的影响深远不仅超出我们的预想，恐怕也远远超出了狄拉克本人的预想。那么，狄拉克的剑气到底有多长呢？这里借用2000多年前庄子的论剑之说，以剑气之长远比喻科学家的功力。庄子认为有三种剑：天子之剑、诸侯之剑、庶人之剑。庄子说，天子剑一出，天下服矣，诸侯之剑一用，如雷霆之震。在科学研究中，像狄拉克方程这样穿越百年仍剑气不减的，可谓天子之剑。这样的宝剑是远见和运气的结合——当然在没有达到那样的远见之前，运气是没有用的。真正好的物理学家是在告诉我们他所想象和理解的一点东西，这点东西可能是人类开启一个巨大未知世界的钥匙。他们在特定的时代和环境下，察觉到了一个巨大的未知世界，并努力架设一座桥梁通往这个世界。根据奥卡姆剃刀定律，他们往往架设的是一个最小非平庸理论，这个理论仅仅是为了解决他们察觉到的主要矛盾，沟通已知和未知的世界。而他们的建设，如果确实有效，往往使得后人受惠良久。古罗马人认为天才和灵感是自然的“神力”临到个人。狄拉克晚年曾说，这个方程比他还聪明，或许也有来自自然的启示帮助了狄拉克（当然，没有思考就没有启示）。

狄拉克方程最初提出的时候是为了解决量子力学和狭义相对论结合过程中出现的一些问题。量子力学建立以后，人们开始考虑它和狭义相对论的联姻。最早提出来的满足狭义相对论的波动方程是Klein-Gordon方程，

这里
标记x, y, z三个方向的动量,m是电子的质量（取
）。然而，Klein-Gordon方程是时间的二阶导数方程，其波函数的概率解释会碰到“负概率”的难题。如何解决负概率问题是当时对理论物理学家的一大挑战。狄拉克当时想的办法是建立一个只含时间一阶导数的波动方程，其哈密顿量的平方对应Klein-Gordon方程的“哈密顿量”
。为了防止质量和动量的交叉项的出现，狄拉克引入了4x4的狄拉克矩阵。这些矩阵相互交换反对称，因此交叉项正好完全相互抵消。由于有3个动量分量和一个质量项，所以必须引入4个交换反对称的矩阵。可以证明，2x2的交换反对称矩阵只有3个，即3个Pauli矩阵，无法满足要求。3x3的矩阵也无法满足这个要求。要想拥有4个交换反对称的矩阵必须引入4x4的矩阵。狄拉克最后得到的方程是，

其中
和
是4x4的矩阵，满足如下关系

，且
。

在这样的构造下，确实狄拉克哈密顿量
满足
。

据说当年Bohr问狄拉克：“你在研究什么？”狄拉克回答说：“我在对某个东西求平方根”。确实狄拉克的工作只是给Klein-Gordon方程的“哈密顿量”找一个最小的非平庸平方根，但是却对后来物理学的发展影响深远。因为狄拉克方程正是那个通往未知世界的桥梁，后来的人们必须通过它才能建立量子场论和很多其它的基础物理理论。

拓扑原来是一个几何学的概念，用来描述几何结构在某些连续变化下不变的性质。过去几十年来，由于凝聚态物理和量子场论的发展，人们发现拓扑可以描述很多物理学中有趣的现象。2016年诺贝尔物理奖颁给了Thouless, Haldane和Kosterliz, 奖励他们发现了拓扑相变和物质的拓扑相。近年来物理学研究的重要发现和热点就是具有非平庸物理性质的拓扑物质态。现在对这些拓扑物质态的研究已经从电子系统扩散到玻色子和经典波动系统，而其中万变不离其宗的就是狄拉克方程。

我们甚至可以用狄拉克方程把拓扑研究历史上的重大进展联系起来，这些重大进展的推动者们也是和狄拉克相似的具有原知力的科学家。第一个重要的进展是MIT的Jackiw和Rebbi在1976年提出的[2]。Jackiw和Rebbi指出如果狄拉克方程的质量在空间中可以连续变化甚至改变符号，那么在质量改变符号的地方会出现局域态。这个局域态叫做Jackiw-Rebbi孤子（soliton）。这是理论上预言的第一个拓扑局域态。虽然理论预言是在量子场论的框架下，之后的实验证实和应用却是在凝聚态物质系统中。1979年Su、Schrieffer和Heeger提出在一维高分子链聚乙炔中存在拓扑孤子[3]。事实上这里的拓扑孤子和Jackiw-Rebbi孤子一样可以用质量改变符号的狄拉克方程来描述。1988年Haldane提出了一个二维蜂窝点阵模型[4]，这个模型通过在狄拉克点打开能隙实现了具有类似量子霍尔效应的物理性质。Haldane模型是第一个不需要外磁场实现量子霍尔效应物理的模型。该模型证实了Thouless等人提出的关于量子霍尔效应和能带拓扑性质的一一对应的理论[5]。然而Haldane提出的模型在很长时间内都无法找到物理对应，因此一直被认为是一个玩具模型。2005年Kane和Mele研究了石墨烯中的自旋轨道耦合效应。发现自旋轨道耦合恰好可以实现Haldane模型，并且自旋上和自旋下的电子分别对应相反的霍尔电导[6]。该系统相当于具有两个量子霍尔效应。由于时间反演对称性，在系统的边界上有两个传播方向相反的边缘态，它们具有相反的自旋。这两个边界态的能谱交叉由时间反演对称性保护。只要时间反演对称性不被破坏，它们就能彼此稳定共存。该效应被称为量子自旋霍尔效应(quantum spin Hall effect)，对应的绝缘体被称为Z2拓扑绝缘体。之后Bernevig、Hughes和Zhang提出了一种新的实现量子自旋霍尔效应的方案，利用HgCdTe量子阱中的s和p能带的反转实现能隙很大的Z2拓扑绝缘体[7]。很快地，Molenkamp研究组在实验上通过边界态的测量证实了HgCdTe量子阱中的这一效应[8]。值得一提的是Z2拓扑绝缘体可以看成是具有负质量的狄拉克方程的能谱，而正常的绝缘体可被看成是具有正质量的狄拉克方程的能谱。两者间的相变对应于零质量的狄拉克方程，此时狄拉克点会出现在电子的能谱中。此后，Fu等人[9]、Moore和Balents[10]、Roy[11]分别把Z2拓扑绝缘体的概念推广到三维系统中。2009年中国科学院物理研究所的戴希研究员、方忠研究员等在Bi2Se3和类似的材料中预言了三维拓扑绝缘体[12]，并很快被实验验证[13]。由于狄拉克点常常是拓扑相变的发生点，因此人们往往通过找到狄拉克点来实现拓扑能带。狄拉克点和狄拉克方程成了研究拓扑能带和拓扑相变的重要工具。

近年来对能带拓扑性质的研究扩展到了经典波动系统。经典波，如电磁波和声波等在周期结构中也有能带出现，并且这些能带也可以具有非平庸的拓扑性质。例如，中国科学院物理研究所的陆凌研究员发现光子晶体中也可以出现Weyl点和线简并node-line，以及由此导致的拓扑边界态[14]。此后，日本NIMS的胡晓教授研究组[15]和苏州大学蒋建华教授研究组分别在变形的蜂窝晶格和core-shell光子晶体中实现了二维的拓扑绝缘体[16]。之后人们发现了在三维光子晶体中实现拓扑绝缘体[17,18]、第二型的狄拉克点和第二型的Weyl点的方案[19]。在最近的工作中武汉大学刘正猷教授研究组在声子晶体中观测到了Weyl点的拓扑表面态：费米弧[20]。

经典波动系统具有更好的可控性、可测量性、相干性和制备优势，因此更容易实现和观测某些拓扑能带及其物理性质。在过去的10年里经典波动系统的拓扑性质如火如荼地发展，其中中国科学家做出了顶尖的贡献。

《物理学报》邀请国内一些前沿研究组撰稿，内容涉及光子晶体、声子晶体、光学和声学超构材料等经典波动系统中的拓扑能带及其物理效应，包含一维、二维和三维系统的一系列工作，希望对读者了解该领域的研究有所帮助。http://wulixb.iphy.ac.cn/CN/Y2017/V66/I22

作者简介：

本文作者为苏州大学蒋建华教授，目前主要从事经典波动系统的拓扑物性、介观能量转换及其非平衡输运和涨落性质的研究。

参考文献：

[1] Dirac,P. A. M. “The quantum theory of the electron”. Proc. Roy. Soc. A 117, 610–624 (1928).

[2] Jackiw, R. & Rebbi, C. “Solitons withfermion number ?”. Phys. Rev. D 13,3398 (1976).

[3] Su,W. P., Schrieffer, J. R. & Heeger, A. J. “Solitons in polyacetylene”. Phys.Rev. Lett. 42, 1698–1701 (1979).

[4] Haldane,F. D. M. “Model for a quantum Hall effect without Landau levels:condensed-matter realization of the "parity anomaly"”. Phys. Rev. Lett. 61, 2015-2018 (1988).

[5] Thouless,D. J., Kohmoto, M., Nightingale, M. P. & den Nijs, M. “Quantized Hallconductance in a two-dimensional periodic potential”. Phys. Rev. Lett. 49,405–408 (1982).

[6] Kane,C. L.; Mele, E. J. "Z2 Topological Order and the Quantum Spin HallEffect". Physical Review Letters. 95,146802. (2005).

[7] B.Andrei Bernevig, Taylor L. Hughes, Shou-Cheng Zhang “Quantum Spin Hall Effectand Topological Phase Transition in HgTe Quantum Wells”, Science 314, 1757-1761 (2006).

[8] K?nig,Markus; Wiedmann, Steffen; Brüne, Christoph; Roth, Andreas; Buhmann, Hartmut;Molenkamp, Laurens W.; Qi, Xiao-Liang; Zhang, Shou-Cheng, "Quantum SpinHall Insulator State in HgTe Quantum Wells". Science. 318, 766–770 (2007)

[9] Fu,L., Kane, C. L., and Mele, E. J., “Topological Insulators in Three Dimensions”.Phys. Rev. Lett. 98, 106803 (2007).

[10] Moore,J. E., and Balents, L., “Topological invariants of time-reversal-invariant bandstructures”, Phys. Rev. B 75,121306(R) (2007).

[11] Roy,R., “Topological phases and the quantum spin Hall effect in three dimensions”. Phys.Rev. B 79, 195322 (2009).

[12] Zhang,H., Liu, C. X., Qi, X. L., Dai, X., Fang, Z., and Zhang, S. C., “Topologicalinsulators in Bi2Se3, Bi2Te3 and Sb2Te3 with a single Dirac cone on the surface”.Nat. Phys. 5, 438 (2009).

[13] Xia,Y., D. Qian, D. Hsieh, L. Wray, A. Pal, H. Lin, A. Bansil, D. Grauer, Y. S.Hor, R. J. Cava, and M. Z. Hasan, “Observation of a large-gap topological-insulatorclass with a single Dirac cone on the surface”. Nat. Phys. 5, 398. (2009).

[14] LingLu, Liang Fu, John D. Joannopoulos and Marin Solja?i?, "Weyl points andline nodes in gyroid photonic crystals". Nature Photonics, Vol. 7, No. 4,P. 294-299 (2013)

[15] Long-HuaWu and Xiao Hu, “Scheme for Achieving a Topological Photonic Crystal by UsingDielectric Material”, Phys. Rev. Lett. 114,223901 (2015).

[16] LinXu, Hai-Xiao Wang, Ya-Dong Xu, Huan-Yang Chen, and Jian-Hua Jiang, “Accidentaldegeneracy in photonic bands and topological phase transitions intwo-dimensional core-shell dielectric photonic crystals”. Optics Express 24, 18059 (2016).

[17] Lu,L. et al. “Symmetry-protectedtopological photonic crystal in three dimensions”. Nat. Phys 12, 337–340(2016).

[18] Slobozhanyuk,A. et al. “Three-dimensionalall-dielectric photonic topological insulator”. Nat. Photon 11, 130–136 (2017).

[19] Hai-XiaoWang, Yige Chen, Zhi Hong Hang, Hae-Young Kee, Jian-Hua Jiang, “Type-II DiracPhotons”, npj Quantum Materials 2, 54 (2017)

[20] FengLi, Xueqing Huang, Jiuyang Lu, Jiahong Ma, and Zhengyou Liu, “Weyl points andFermi arcs in a chiral phononic crystal”. Nat. Phys. 2017.

编辑：小面包

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