几何题条件太少不够用？那是因为没根据这条"线&quo（二）

2018-08-31 11:53 分类：滚动来源：上海莘越

『甘肃龙网摘要_几何题条件太少不够用？那是因为没根据这条"线&quo（二）』甘肃龙网 // 图5-55 现在的问题是要证明∠AEB=∠FEB，而这两个角相等的关系一出现，就说明这两个相等的角是关于BE成轴对称的，所以可添加轴对称型全等三角形进行证明。由于已知图形中已有...


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图5-55

现在的问题是要证明∠AEB=∠FEB，而这两个角相等的关系一出现，就说明这两个相等的角是关于BE成轴对称的，所以可添加轴对称型全等三角形进行证明。由于已知图形中已有对称轴BE，所以添加轴对称型的全等三角形的方法是将三角形沿对称轴翻折，于是就可将△ABE沿对称轴BE翻折过去，由于∠AEB应和∠FEB相等，所以翻折后，AE应落在EF和EF的延长线上，而由∠ABE=75°，可知BA应落在与BE交成75°角的射线上。而已知∠EBF=15°，所以在正方形外还应作一个60°的角，于是以BC为边、B为顶点作∠CBG=60°交EF的延长线于G，从而只要证明△ABE和△GBE全等（如图5-56）。在这两个三角形中，已经出现的条件是∠ABE=∠GBE=75°，BE=BE，所以还需要一个条件。因∠AEB=∠BEF是要证的结论，不能用；而∠BAE=∠BGE又是∠AEB=∠BEF的等价性质，也不能用；而AE和GE即使证明了相等，出现的也是两边和其中一边的对角对应相等，也不能证明这两个三角形全等，所以也不能用。这样问题就只能证明BG=BA。但BA是正方形的边长，所以问题就要证BG也等于正方形的边长。但由所作的∠CBG=60°和我们已得到的∠BFG=90°，可知BG是30°角的直角三角形的斜边，所以有BG=2BF，而前面已证BC=2BF；所以BG=BA就可以证明。在证明了AE=AD后，根据同样的道理也可证明DE=DA，所以分析可以完成。

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图5-56

本题要证△AED是等边三角形，实质上就是要证AE=AB。由条件∠BBC=15°，∠ABC=90°，所以∠ABE=75°，对于15°和75°这两个角来说，它们的和是90°，而它们的差是另一个特殊角60°，所以∠ABE就等于∠EBC+60°，这样根据角的和差关系的定义，就有在∠ABE内以B为顶点，以BA为一边，作∠ABF=∠CBE=15°后，可得∠EBF=60°，但在作出了∠ABF=∠CBE后，由于BA=BC，所以就出现了这两个相等的角和这两条相等线段都是关于∠ABC的角平分线，也就是正方形的对角线BD成轴对称的，所以就可以添加轴对称型全等三角形进行证明添加的方法就是将△EBC沿对称轴BD翻折过去（如图5-57），于是在射线BF上截取BF=BE，并连接AF（如图5-58），就可由BA=BC，∠ABF=∠CBE=15°和BF=BE，推得△ABF≌△CBE。

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